Seja T: 1^3 1^3𝟙𝟙 dada por T(x, y, z)=(z, x-y, y).
Prove que T é linear.

Passo 1

O enunciado define
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;x-y,;y)
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, que para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar alphainR vale
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade),
  2. T(alphau)=alpha,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e, aplicando T,
T(u+v) =l(z1+z2,;(x1+x2)-(y1+y2),;y1+y2r)
Por outro lado,
T(u)+T(v) =(z1,;x1-y1,;y1)+(z2,;x2-y2,;y2) =l(z1+z2,;(x1-y1)+(x2-y2),;y1+y2r)
Como (x1-y1)+(x2-y2)=(x1+x2)-(y1+y2), segue
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

Seja alphainR e u=(x,y,z). Então
alphau=(alpha x,;alpha y,;alpha z)
e
T(alphau) =l(alpha z,;alpha x-alpha y,;alpha yr) =alpha,(z,;x-y,;y) =alpha,T(u)

Passo 4

Como T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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