9^circ ) Determine uma aproximação para raiz13 com erro inferior a 10^-2.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar raiz13 com erro menor que 10^-2. O conteúdo aqui é encontrar raízes de funções (no caso de f(x)=x^2-13) usando o método de Newton–Raphson.

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, definimos a função f(x)=x^2-13 e sua derivada f'(x)=2x. A fórmula de iteração é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)=xn+tfrac13xn2

Passo 3

Escolhemos um palpite inicial razoável, por exemplo x0=4. Então calculamos:
x1=4+tfrac1342=4+3,252=3,625

Passo 4

Em seguida, iteramos mais uma vez:
x2=3,625+tfrac133,6252=3,625+3,58622approx3,6056

Passo 5

Agora verificamos o erro aproximado. Como raiz13approx3,60555, temos
|x2-raiz13|approx|3,6056-3,60555|=5times10^-5<10^-2
Portanto, atingimos a precisão desejada.

Resposta

3.6056

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