Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=1^infty (2 n)!x^n2^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(2n)!2^n,x^n
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de potências, que fornece o raio de convergência R pelo limite
limntoinfty|an+1an|,
onde an é o coeficiente de x^n.

Passo 2

Identificamos
an = (2n)!2^n
Aplicamos o teste da razão, calculando
|an+1an| = (2(n+1))!2^,n+1(2n)!2^n = (2n+2)!2^,n+1cdot2^n(2n)!

Passo 3

Simplificando o fatorial, temos
(2n+2)!(2n)! = (2n+2)(2n+1),
então
|an+1an| = (2n+2)(2n+1)2 = (n+1)(2n+1)

Passo 4

Para que a série converja, o teste da razão exige
limntoinfty|an+1an,x|<1 Longrightarrow limntoinfty(n+1)(2n+1),lvert xrvert<1
Como limntoinfty(n+1)(2n+1)=+infty, a única forma de tornar esse produto menor que 1 é ter lvert xrvert=0. Logo, o raio de convergência é
R = 0

Passo 5

Com R=0, a série só converge no ponto x=0. Portanto, o intervalo de convergência é
0

Resposta

Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: apenas x=0.

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