Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de potências, que fornece o raio de convergência
pelo limite
onde
an é o coeficiente de
x^n .
Passo 2
Identificamos
Aplicamos o teste da razão, calculando
Passo 3
Simplificando o fatorial, temos
então
Passo 4
Para que a série converja, o teste da razão exige
Como
limntoinfty(n+1)(2n+1)=+infty , a única forma de tornar esse produto menor que 1 é ter
lvert xrvert=0 . Logo, o raio de convergência é
Passo 5
Com
R=0 , a série só converge no ponto
x=0 . Portanto, o intervalo de convergência é
Resposta
Raio de convergência:
R=0 .
Intervalo de convergência: apenasx=0 .
Intervalo de convergência: apenas