Situação 1 (5,0 pontos): Dada a função
. do abaixo.
a) (0,5 ponto) Explicite o domínio de
.
b) ( 0,5 ponto) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
c)
ponto) Sabendo-se que a segunda derivada permite o estudo da concavidade de
, caso existam, determine os pontos de inflexão.
d)
ponto) Calcule o limite de
, em
.
e) (0,5 ponto) Calcule os limites para de
, quando
e
.
f) (0,5 ponto) Determine, caso existam, os zeros da função
.
g)
ponto) Esboce o gráfico de
.
h) (0,5 ponto) Determine a equação da reta
, tange a
no ponto
.
i) (0,5 ponto) Determine a equação da reta
, tange a
no ponto
.
j) (0,5 ponto) Represente as retas
e s, no mesmo plano cartesiano em que esboçou o gráfico de
.
a) (0,5 ponto) Explicite o domínio de
b) ( 0,5 ponto) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
c)
d)
e) (0,5 ponto) Calcule os limites para de
f) (0,5 ponto) Determine, caso existam, os zeros da função
g)
h) (0,5 ponto) Determine a equação da reta
i) (0,5 ponto) Determine a equação da reta
j) (0,5 ponto) Represente as retas
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra estudar a função
da cabeça aos pés: domínio, derivadas (crescimento/decrescimento), concavidade e inflexão, limites (em 0 e em ±∞), zeros, esboço do gráfico, retas tangentes nos pontos
e
e, por fim, desenhar tudo junto. Vamos usar conceitos de domínio, derivadas (1ª e 2ª), limites e equação da reta tangente.
Passo 2
(a) Domínio
O domínio de uma função racional é todo valor de que não zera o denominador. Como
O domínio de uma função racional é todo valor de
não pode ter
. Então
Passo 3
(b) Crescimento e decrescimento
Pra ver onde ela cresce ou decresce, a gente calcula a 1ª derivada. Podemos reescrever
Pra ver onde ela cresce ou decresce, a gente calcula a 1ª derivada. Podemos reescrever
e usar a regra de potência (
):
Teoria rápida: se
, a função é crescente; se
, é decrescente. Aqui
para todo
, logo
- crescente em
e em ; - não há intervalo de decrescimento.
Passo 4
(c) Pontos de inflexão (concavidade)
A gente olha a 2ª derivada pra ver concavidade e inflexão. Derivando de novo:
A gente olha a 2ª derivada pra ver concavidade e inflexão. Derivando de novo:
Teoria: se
, é concava para cima; se
, para baixo; ponto de inflexão ocorre onde
ou muda de sinal num ponto do domínio. Aqui
nunca acontece e o possível “troca” em
não conta (não tá no domínio). Então não há ponto de inflexão.
Passo 5
(d) Limite em
Como não tá no domínio, a gente faz limites laterais:
Como
- Para
, , então . - Para
, , então .
Logo o limite em 0 não existe, mas tem assíntota vertical em.
Passo 6
(e) Limites em
Como , quando
a fração
. Então
Como
Isto é a assíntota horizontal
.
Passo 7
(f) Zeros da função
Zero é onde . Igualamos:
Zero é onde
E
tá no domínio, então esse é o único zero.
Passo 8
(g) Esboço do gráfico
Resumo do shape:
Resumo do shape:
- Assíntotas: vertical em
, horizontal em . - Cresce em
(concava pra cima) e em (concava pra baixo). - Passa por
e por .
Desenha esses pontos, rabisca as assíntotas e liga tudo respeitando concavidade e monotonia.
Passo 9
(h) Reta
tangente em
Fórmula da reta tangente em :
Fórmula da reta tangente em
Aqui
,
e
. Logo
Passo 10
(i) Reta
tangente em
Agora ,
e
. Então
Agora
Passo 11
(j) Desenhar
e
com o gráfico
Pra colocar as duas retas no mesmo plano, basta usar o mesmo esboço da função e traçar:
Pra colocar as duas retas no mesmo plano, basta usar o mesmo esboço da função e traçar:
- reta
(intercepta o eixo em ), - reta
(intercepta o eixo em ).
E tá pronto o gráfico com tudo junto.
Resposta
a)
.
b) Cresce em e em
; não decresce.
c) Não há ponto de inflexão.
d) ,
.
e) .
f) Único zero em .
g) Gráfico com assíntotas ,
, pontos
, crescendo e forma descrita.
h) .
i) .
j) As retas e
desenhadas junto com o gráfico de
.
b) Cresce em
c) Não há ponto de inflexão.
d)
e)
f) Único zero em
g) Gráfico com assíntotas
h)
i)
j) As retas