Situação 1 (5,0 pontos): Dada a função f(x)=x-1x. do abaixo.
a) (0,5 ponto) Explicite o domínio de f(x).
b) ( 0,5 ponto) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f(x).
c) (0,5 ponto) Sabendo-se que a segunda derivada permite o estudo da concavidade de f(x), caso existam, determine os pontos de inflexão.
d) (0,5 ponto) Calcule o limite de f(x), em x=0.
e) (0,5 ponto) Calcule os limites para de f(x), quando x +infty e x -infty.
f) (0,5 ponto) Determine, caso existam, os zeros da função f(x).
g) (0,5 ponto) Esboce o gráfico de f(x).
h) (0,5 ponto) Determine a equação da reta r, tange a f(x) no ponto x=1.
i) (0,5 ponto) Determine a equação da reta s, tange a f(x) no ponto x=-1.
j) (0,5 ponto) Represente as retas r e s, no mesmo plano cartesiano em que esboçou o gráfico de f(x).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra estudar a função
f(x)=x-1x
da cabeça aos pés: domínio, derivadas (crescimento/decrescimento), concavidade e inflexão, limites (em 0 e em ±∞), zeros, esboço do gráfico, retas tangentes nos pontos x=1 e x=-1 e, por fim, desenhar tudo junto. Vamos usar conceitos de domínio, derivadas (1ª e 2ª), limites e equação da reta tangente.

Passo 2

(a) Domínio
O domínio de uma função racional é todo valor de x que não zera o denominador. Como
f(x)=x-1x,
não pode ter x=0. Então
Dom(f)=Rsetminus0

Passo 3

(b) Crescimento e decrescimento
Pra ver onde ela cresce ou decresce, a gente calcula a 1ª derivada. Podemos reescrever
f(x)=1-1x,,
e usar a regra de potência ( ddxx^n=nx^n-1):
f'(x)=0-l(-1r)x^-2=1x^2,
Teoria rápida: se f'(x)>0, a função é crescente; se f'(x)<0, é decrescente. Aqui 1x^2>0 para todo xneq0, logo
  • crescente em (-infty,0) e em (0,infty);
  • não há intervalo de decrescimento.

Passo 4

(c) Pontos de inflexão (concavidade)
A gente olha a 2ª derivada pra ver concavidade e inflexão. Derivando de novo:
f''(x)=ddxl(x^-2r)=-2x^-3=-2x^3,
Teoria: se f''(x)>0, é concava para cima; se f''(x)<0, para baixo; ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 ou muda de sinal num ponto do domínio. Aqui -2x^3=0 nunca acontece e o possível “troca” em x=0 não conta (não tá no domínio). Então não há ponto de inflexão.

Passo 5

(d) Limite em x=0
Como x=0 não tá no domínio, a gente faz limites laterais:
  • Para xto0^+, 1/xto+infty, então f(x)=1-1/xto-infty.
  • Para xto0^-, 1/xto-infty, então f(x)=1-1/xto+infty.
    Logo o limite em 0 não existe, mas tem assíntota vertical em x=0.

Passo 6

(e) Limites em pminfty
Como f(x)=1-1x, quando xtopminfty a fração 1/xto0. Então
limxto+inftyf(x)=1, limxto-inftyf(x)=1
Isto é a assíntota horizontal y=1.

Passo 7

(f) Zeros da função
Zero é onde f(x)=0. Igualamos:
x-1x=0Longrightarrow x-1=0Longrightarrow x=1,
E x=1 tá no domínio, então esse é o único zero.

Passo 8

(g) Esboço do gráfico
Resumo do shape:
  • Assíntotas: vertical em x=0, horizontal em y=1.
  • Cresce em (-infty,0) (concava pra cima) e em (0,infty) (concava pra baixo).
  • Passa por (-1,2) e por (1,0).
    Desenha esses pontos, rabisca as assíntotas e liga tudo respeitando concavidade e monotonia.

Passo 9

(h) Reta r tangente em x=1
Fórmula da reta tangente em x0:
y-y0=f'(x0),(x-x0),
Aqui x0=1, y0=f(1)=0 e f'(1)=1/1^2=1. Logo
y-0=1,(x-1)Longrightarrow r:;y=x-1,

Passo 10

(i) Reta s tangente em x=-1
Agora x0=-1, y0=f(-1)=2 e f'(-1)=1/(-1)^2=1. Então
y-2=1,(x+1)Longrightarrow s:;y=x+3,

Passo 11

(j) Desenhar r e s com o gráfico
Pra colocar as duas retas no mesmo plano, basta usar o mesmo esboço da função e traçar:
  • reta r:y=x-1 (intercepta o eixo y em -1),
  • reta s:y=x+3 (intercepta o eixo y em 3).
    E tá pronto o gráfico com tudo junto.

Resposta

a) Dom(f)=Rsetminus0.
b) Cresce em (-infty,0) e em (0,infty); não decresce.
c) Não há ponto de inflexão.
d) limxto0^+f(x)=-infty, limxto0^-f(x)=+infty.
e) limxtopminftyf(x)=1.
f) Único zero em x=1.
g) Gráfico com assíntotas x=0, y=1, pontos (-1,2),(1,0), crescendo e forma descrita.
h) r:;y=x-1.
i) s:;y=x+3.
j) As retas r e s desenhadas junto com o gráfico de f(x).

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