Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=1^infty x^2 nn(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyx^2nn(ln n)^2
Para resolver usamos o Teste da raiz para séries de potência e, em seguida, verificamos o comportamento nos extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicamos o Teste da raiz. Seja
an = x^2nn(ln n)^2
Calculamos
limsupntoinftyl|anr|^1/n =limntoinfty|x|^2l[n(ln n)^2r]^1/n =|x|^2cdot1 =|x|^2,
pois l[n(ln n)^2r]^1/nto1.

Passo 3

A série converge se limsup|an|^1/n<1, ou seja
|x|^2<1 Longrightarrow |x|<1
Logo, o raio de convergência é
R=1

Passo 4

No extremo x=1 a série vira
sumn=1^infty1n(ln n)^2
Para n>=2 aplicamos o Teste da integral (ou o critério de séries do tipo sum1/[n(ln n)^p]): converge se e somente se p>1. Aqui p=2>1, então converge em x=1.

Passo 5

No extremo x=-1 temos
sumn=1^infty(-1)^2nn(ln n)^2 =sumn=1^infty1n(ln n)^2,
iguais ao caso x=1. Logo converge também em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
[-1,1]

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