Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Para resolver usamos o Teste da raiz para séries de potência e, em seguida, verificamos o comportamento nos extremos .
Passo 2
Aplicamos o Teste da raiz. Seja
Calculamos
pois l[n(ln n)^2r]^1/nto1.
Passo 3
A série converge se limsup|an|^1/n<1, ou seja
|x|^2<1 Longrightarrow |x|<1
Logo, o raio de convergência é
R=1
Passo 4
No extremo x=1 a série vira
sumn=1^infty1n(ln n)^2
Para n>=2 aplicamos o Teste da integral (ou o critério de séries do tipo sum1/[n(ln n)^p]): converge se e somente se p>1. Aqui p=2>1, então converge em x=1.