6^a Questão ( 0,8 ponto): Determine se as seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique.
a) ( ) O conjunto imagem da função f definida por f(x)=log 0,5(x-1) é dado por
Imf=y in R / y>1
b) ( ) Se log 2 y=x+4, então y=2^x+4.
c) ( ) 12 log a 9-2 log a x+3 log a y=log a(3 y^3x^2).
d) ( ) O conjunto domínio da função g definida por g(x)=(12)^x é dado por
Dg=x in R / x>0

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos quatro afirmações sobre funções logarítmicas e exponenciais como verdadeiras ou falsas. Vamos precisar das seguintes ideias:
  • Para f(x)=log0,5(x-1): domínio de logaritmo e imagem de logb com 0<b<1.
  • Para log2y=x+4: como inverter o logaritmo para obter y.
  • Para combinar expressões do tipo tfrac12loga9-2logax+3logay: usar propriedades de potência, produto e quociente de logaritmos.
  • Para g(x)=(tfrac12)^x: domínio das funções exponenciais com base positiva.

Passo 2

Analisando f(x)=log0,5(x-1), o argumento exige x-1>0, ou seja
x>1
Como base 0,5in(0,1), o logaritmo é definido para todo x>1 e seu valor percorre todos os reais. Logo
Im f = R,
portanto a afirmação de que Im f=yinRmid y>1 é falsa.

Passo 3

Da igualdade
log2y = x+4
passamos para a forma exponencial:
y = 2^,x+4 = 2^4cdot 2^x = 16cdot 2^x
Isto não é 2^x+4. Logo a segunda afirmação é falsa.

Passo 4

Começamos por reescrever cada termo usando as propriedades de potência no logaritmo:
tfrac12loga9 = loga(9^1/2) = loga3, -2logax = loga(x^-2), 3logay = loga(y^3)
Somando-os,
loga3 + loga(y^3) + loga(x^-2) = logal(3cdot y^3cdot x^-2r) = loga!l(3,y^3x^2r)
Isso coincide com o que aparece à direita, logo a terceira afirmação é verdadeira.

Passo 5

Para g(x)=(tfrac12)^x a base tfrac12>0 e diferente de 1, logo a exponencial está definida para todo xinR. O domínio é R, não apenas x>0. Assim a quarta afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F

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