Questão ( 0,8 ponto): Determine se as seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique.
a) ( ) O conjunto imagem da função
definida por
é dado por
b) ( )
, então
.
c) ( )
.
d) ( ) O conjunto domínio da função
definida por
é dado por
a) ( ) O conjunto imagem da função
c) ( )
d) ( ) O conjunto domínio da função
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos quatro afirmações sobre funções logarítmicas e exponenciais como verdadeiras ou falsas. Vamos precisar das seguintes ideias:
- Para
: domínio de logaritmo e imagem de com . - Para
: como inverter o logaritmo para obter . - Para combinar expressões do tipo
: usar propriedades de potência, produto e quociente de logaritmos. - Para
: domínio das funções exponenciais com base positiva.
Passo 2
Analisando
, o argumento exige
, ou seja
Como base
, o logaritmo é definido para todo
e seu valor percorre todos os reais. Logo
portanto a afirmação de que
é falsa.
Passo 3
Da igualdade
passamos para a forma exponencial:
Isto não é
. Logo a segunda afirmação é falsa.
Passo 4
Começamos por reescrever cada termo usando as propriedades de potência no logaritmo:
Somando-os,
Isso coincide com o que aparece à direita, logo a terceira afirmação é verdadeira.
Passo 5
Para
a base
e diferente de 1, logo a exponencial está definida para todo
. O domínio é
, não apenas
. Assim a quarta afirmação é falsa.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
b) F
c) V
d) F