Mostre se o limite existe ou nāo existe.
lim (x, y) longrightarrow(0,0) y^4-x^2y^4+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite! A questão pede para verificar se o limite de y^4-x^2y^4+x^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe ou não. Para isso, vamos explorar o conceito de limites em funções de duas variáveis e ver se o resultado é o mesmo ao nos aproximarmos de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar do ponto (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, deixando y = 0. Substituindo y = 0 na função:
y^4-x^2y^4+x^2 = 0 - x^20 + x^2 = -x^2x^2 = -1
Então, ao aproximar-se pelo eixo x, o limite é -1.

Passo 3

Agora, vamos nos aproximar do ponto (0,0) ao longo do eixo y, ou seja, deixando x = 0. Substituindo x = 0 na função:
y^4-x^2y^4+x^2 = y^4 - 0y^4 + 0 = y^4y^4 = 1
Então, ao aproximar-se pelo eixo y, o limite é 1.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes: -1 pelo eixo x e 1 pelo eixo y. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto (0,0).

Resposta

Como os limites são diferentes ao se aproximar por caminhos distintos, o limite lim (x, y) longrightarrow(0,0) y^4-x^2y^4+x^2 não existe.

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