Mostre se o limite existe ou nāo existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite! A questão pede para verificar se o limite de
quando
se aproxima de
existe ou não. Para isso, vamos explorar o conceito de limites em funções de duas variáveis e ver se o resultado é o mesmo ao nos aproximarmos de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar nos aproximar do ponto
ao longo do eixo
, ou seja, deixando
. Substituindo
na função:
Então, ao aproximar-se pelo eixo
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos nos aproximar do ponto
ao longo do eixo
, ou seja, deixando
. Substituindo
na função:
Então, ao aproximar-se pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Observamos que ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes:
pelo eixo
e
pelo eixo
. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto
.
Resposta
Como os limites são diferentes ao se aproximar por caminhos distintos, o limite
não existe.