Suponha que
seja uma função diferenciável. Use a Regra da cadeia para verificar que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ g $ que depende de três variáveis combinadas: $ x-y $, $ y-z $ e $ z-x $. A função é diferenciável, ou seja, podemos calcular suas derivadas parciais. O objetivo é usar a Regra da Cadeia para mostrar que a soma das derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ é igual a zero:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis intermediárias nas quais $ g $ depende. Vamos chamar:
Então, a função $ g $ pode ser escrita como $ g(u, v, w) $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz como derivar uma função composta. A regra geral para uma função $ g(u, v, w) $ é:
E de maneira semelhante para $ \frac{\partial g}{\partial y} $ e $ \frac{\partial g}{\partial z} $.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais das variáveis intermediárias:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial:
Para $ \frac{\partial g}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
Para $ \frac{\partial g}{\partial z} $:
Passo 6
Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais:
Passo 7
Simplificando a expressão acima, vemos que termos se cancelam:
Tudo se anula, restando zero.
Resposta
Então, mostramos que: