Suponha que g(x-y, y-z, z-x) seja uma função diferenciável. Use a Regra da cadeia para verificar que
partial gpartial x+partial gpartial y+partial gpartial z=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ g $ que depende de três variáveis combinadas: $ x-y $, $ y-z $ e $ z-x $. A função é diferenciável, ou seja, podemos calcular suas derivadas parciais. O objetivo é usar a Regra da Cadeia para mostrar que a soma das derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ é igual a zero:
g
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis intermediárias nas quais $ g $ depende. Vamos chamar:
g
Então, a função $ g $ pode ser escrita como $ g(u, v, w) $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz como derivar uma função composta. A regra geral para uma função $ g(u, v, w) $ é:
g
E de maneira semelhante para $ \frac{\partial g}{\partial y} $ e $ \frac{\partial g}{\partial z} $.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais das variáveis intermediárias:
partial upartial x = 1, partial vpartial x = 0, partial wpartial x = -1
partial upartial y = -1, partial vpartial y = 1, partial wpartial y = 0
partial upartial z = 0, partial vpartial z = -1, partial wpartial z = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial:
Para $ \frac{\partial g}{\partial x} $:
partial gpartial x
Para $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
partial gpartial x = partial gpartial u cdot 1 + partial gpartial v cdot 0 + partial gpartial w cdot (-1) = partial gpartial u - partial gpartial w
Para $ \frac{\partial g}{\partial z} $:
partial gpartial y

Passo 6

Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais:
partial gpartial x + partial gpartial y + partial gpartial z = ( partial gpartial u - partial gpartial w ) + ( -partial gpartial u + partial gpartial v ) + ( -partial gpartial v + partial gpartial w )

Passo 7

Simplificando a expressão acima, vemos que termos se cancelam:
partial gpartial u - partial gpartial w - partial gpartial u + partial gpartial v - partial gpartial v + partial gpartial w = 0
Tudo se anula, restando zero.

Resposta

Então, mostramos que:
partial gpartial x + partial gpartial y + partial gpartial z = 0

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