Determine uma aproximação do número
a partir da escrita em série da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma aproximação para o número
usando a série da função
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e entender como elas podem representar funções como a arctangente. Vamos precisar conhecer a expansão em série de
e como aplicá-la para estimar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função
. A série de Taylor de
centrada em 0 é dada por:
Essa é uma série infinita que representa a função arctangente para valores de
onde a série converge, ou seja, para
.
Passo 3
Agora, vamos usar essa série para encontrar uma aproximação de
. Sabemos que:
Então, substituindo
na série de Taylor, temos:
Passo 4
Para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados da equação por 4:
Essa expressão nos dá uma maneira de aproximar
somando os termos da série e multiplicando o resultado por 4.
Passo 5
Vamos fazer uma aproximação somando alguns termos da série para ter uma ideia de como calcular
. Por exemplo, se somarmos os primeiros quatro termos:
Calculando isso:
Claro que essa é uma aproximação bem inicial, mas quanto mais termos a gente somar, mais próxima a gente chega de
.
Resposta
Usando a série da função
e somando mais termos, podemos aproximar
. Por exemplo, com os primeiros quatro termos, temos
. Para uma aproximação mais precisa, é necessário somar mais termos da série.