Determine uma aproximação do número pi a partir da escrita em série da função f(x)=arctg(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma aproximação para o número pi usando a série da função f(x) = arctg(x). Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e entender como elas podem representar funções como a arctangente. Vamos precisar conhecer a expansão em série de arctg(x) e como aplicá-la para estimar pi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função arctg(x). A série de Taylor de arctg(x) centrada em 0 é dada por:
f(x) = arctg(x) = x - x^33 + x^55 - x^77 + cdots
Essa é uma série infinita que representa a função arctangente para valores de x onde a série converge, ou seja, para |x| <= 1.

Passo 3

Agora, vamos usar essa série para encontrar uma aproximação de pi. Sabemos que:
arctg(1) = pi4
Então, substituindo x = 1 na série de Taylor, temos:
pi4 = 1 - 13 + 15 - 17 + cdots

Passo 4

Para encontrar pi, basta multiplicar ambos os lados da equação por 4:
pi = 4 (1 - 13 + 15 - 17 + cdots )
Essa expressão nos dá uma maneira de aproximar pi somando os termos da série e multiplicando o resultado por 4.

Passo 5

Vamos fazer uma aproximação somando alguns termos da série para ter uma ideia de como calcular pi. Por exemplo, se somarmos os primeiros quatro termos:
pi approx 4 (1 - 13 + 15 - 17) = 4 (11 - 13 + 15 - 17)
Calculando isso:
pi approx 4 (1 - 0,3333 + 0,2 - 0,1429) = 4 times 0,7238 = 2,895
Claro que essa é uma aproximação bem inicial, mas quanto mais termos a gente somar, mais próxima a gente chega de pi.

Resposta

Usando a série da função arctg(x) e somando mais termos, podemos aproximar pi. Por exemplo, com os primeiros quatro termos, temos pi approx 2,895. Para uma aproximação mais precisa, é necessário somar mais termos da série.

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