Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
y^prime x ln x=y, y(3)=ln 81

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial
dydx,xln x = y
com condição inicial y(3)=ln 81. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem por separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a EDO isolando dydx:
dydx = yxln x
Em seguida separamos as variáveis:
1y,dy = 1xln x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 1xln x,dx
A integral do lado esquerdo é ln|y|. A do direito é ln|ln x| mais uma constante C. Logo,
ln|y| = ln|ln x| + C

Passo 4

Exponenciando, obtemos
|y| = e^C,|ln x|
Definindo b = pm e^C (absorvendo o sinal), temos a solução geral
y = b,ln x

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(3)=ln 81. Como ln 81 = 4ln 3, temos
b,ln 3 = 4ln 3 Longrightarrow b = 4
Logo a solução particular é
y(x) = 4,ln x

Resposta

A solução particular é
y(x) = 4,ln x

Exercícios relacionados