Determine o intervalo onde a série de potências sumn=1^infty (x-3)^nn 2^n converge. Onde essa série diverge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: sumn=1^infty (x-3)^nn 2^n. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série converge e onde ela diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde an é o termo geral da série. Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , ela diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an da nossa série:
an = (x-3)^nn 2^n
Agora, vamos calcular an+1an :
an+1an = (x-3)^n+1(n+1) 2^n+1(x-3)^nn 2^n = (x-3) cdot n2(n+1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L :
L = limn to infty | (x-3) cdot n2(n+1) | = | x-32 | cdot limn to infty nn+1 = | x-32 | cdot 1 = | x-32 |

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se L < 1 e diverge se L > 1 . Então, temos:
| x-32 | < 1 implies |x - 3| < 2

Passo 6

Vamos resolver a inequação |x - 3| < 2 :
-2 < x - 3 < 2 implies 1 < x < 5
Isso significa que a série converge para x entre 1 e 5.

Passo 7

Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos finais x = 1 e x = 5 .
Para x = 1 :
sumn=1^infty (1-3)^nn 2^n = sumn=1^infty (-2)^nn 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é uma série alternada que converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.
Para x = 5 :
sumn=1^infty (5-3)^nn 2^n = sumn=1^infty 2^nn 2^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.

Resposta

A série converge para todos os valores de x no intervalo 1 <= x < 5 e diverge para x = 5 .

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