Determine uma aproximação para \sqrt[3]{7} com precisão \varepsilon=0.06 utilizando o método da bisseção. Quantas iterações foram necessárias para alcançar a precisão desejada?
Dica: n=\left\lfloor\frac{\ln \left(\frac{\left|b_{0}-a_{0}\right|}{\varepsilon}\right)}{\ln 2}\right\rfloor
Passo 1
O enunciado pede: aproximar \sqrt[3]{7} com precisão \varepsilon=0,06 usando o método da bisseção e informar quantas iterações foram necessárias.
Informações dadas e úteis:
Queremos a raiz da função f(x)=x^{3}-7.
Observando potências inteiras: 1^{3}=1<7<8=2^{3}, então um intervalo inicial natural é [a_{0},b_{0}]=[1,2].
Breve explicação do método da bisseção (passo a passo didático):
Definimos f(x)=x^{3}-7. Se f(a_{0}) e f(b_{0}) têm sinais opostos, existe uma raiz em [a_{0},b_{0}] (Teorema do Valor Intermediário).
A cada iteração calculamos o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2} do intervalo atual [a,b] e avaliamos f\text{(c)}.
Se f\text{(c)}=0 paramos (achamos a raiz).
Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(a), substituímos a por c (a raiz fica em [c,b]); se tem o mesmo sinal que f(b), substituímos b por c.
Após k iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{k}}. Se tomarmos o ponto médio do intervalo final como aproximação, a incerteza máxima (erro) será no máximo metade do comprimento do intervalo final, ou seja \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{k+1}}. Outra forma prática (usada na dica) fornece um n suficientemente grande para garantir a precisão desejada; usaremos a fórmula da dica para obter o número de iterações.
Como 0,03125<0,06, essa aproximação satisfaz a precisão exigida.
Passo 6
Resumo e interpretação didática:
Fizemos exatamente 4 iterações (conforme a dica). Após essas 4 iterações o root está no intervalo [1,875,\,1,9375].
Tomando a média do intervalo final como aproximação (estratégia segura e comum), obtemos m=1,90625.
O erro garantido é \le 0,03125, que é menor que \varepsilon=0,06. Portanto a aproximação atende à precisão pedida.
Observação numérica rápida: o valor real \sqrt[3]{7}\approx 1,912931\ldots, e a nossa aproximação 1,90625 difere dele por cerca de 0,00668, bem dentro de \varepsilon.
Resposta
\text{Aproximação: }1,90625çã \text{Número de iterações: }4úçõ