Determine uma aproximação para \sqrt[3]{7} com precisão \varepsilon=0.06 utilizando o método da bisseção. Quantas iterações foram necessárias para alcançar a precisão desejada?
Dica: n=\left\lfloor\frac{\ln \left(\frac{\left|b_{0}-a_{0}\right|}{\varepsilon}\right)}{\ln 2}\right\rfloor

Passo 1

O enunciado pede: aproximar \sqrt[3]{7} com precisão \varepsilon=0,06 usando o método da bisseção e informar quantas iterações foram necessárias.
Informações dadas e úteis:
  • Queremos a raiz da função f(x)=x^{3}-7.
  • Observando potências inteiras: 1^{3}=1<7<8=2^{3}, então um intervalo inicial natural é [a_{0},b_{0}]=[1,2].
  • A dica fornece a fórmula
n=\left\lfloor\frac{\ln\left(\dfrac{|b_{0}-a_{0}|}{\varepsilon}\right)}{\ln 2}\right\rfloor.

Passo 2

Breve explicação do método da bisseção (passo a passo didático):
  • Definimos f(x)=x^{3}-7. Se f(a_{0}) e f(b_{0}) têm sinais opostos, existe uma raiz em [a_{0},b_{0}] (Teorema do Valor Intermediário).
  • A cada iteração calculamos o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2} do intervalo atual [a,b] e avaliamos f\text{(c)}.
    • Se f\text{(c)}=0 paramos (achamos a raiz).
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(a), substituímos a por c (a raiz fica em [c,b]); se tem o mesmo sinal que f(b), substituímos b por c.
  • Após k iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{k}}. Se tomarmos o ponto médio do intervalo final como aproximação, a incerteza máxima (erro) será no máximo metade do comprimento do intervalo final, ou seja \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{k+1}}. Outra forma prática (usada na dica) fornece um n suficientemente grande para garantir a precisão desejada; usaremos a fórmula da dica para obter o número de iterações.

Passo 3

Aplicando a fórmula da dica para obter n:
n=\left\lfloor\frac{\ln\left(\dfrac{|b_{0}-a_{0}|}{\varepsilon}\right)}{\ln 2}\right\rfloor =\left\lfloor\frac{\ln\left(\dfrac{1}{0,06}\right)}{\ln 2}\right\rfloor =\left\lfloor\frac{\ln(16,666\ldots)}{\ln 2}\right\rfloor.
Calculando aproximadamente os logs:
\ln(16,666\ldots)\approx 2,813411\ldots,\qquad \ln 2\approx 0,693147\ldots
\frac{2,813411\ldots}{0,693147\ldots}\approx 4,0589\ldots
Logo
n=\lfloor 4,0589\ldots\rfloor = 4.
Portanto, segundo a dica precisamos de 4 iterações.

Passo 4

Agora execute as iterações da bisseção, mostrando c_{k} e o sinal de f(c_{k}).
Inicialmente a_{0}=1, b_{0}=2. Note que
f(1)=1^{3}-7=-6<0,\qquad f(2)=8-7=1>0,
há mudança de sinal, raiz em [1,2].
Iteração 1:
c_{1}=\frac{1+2}{2}=1,5,\qquad f(1,5)=1,5^{3}-7=3,375-7=-3,625<0.
Como f(c_{1})<0 e f(b_{0})>0, nova intervalo: [a_{1},b_{1}]=[1,5,\,2].
Iteração 2:
c_{2}=\frac{1,5+2}{2}=1,75,\qquad f(1,75)=1,75^{3}-7=5,359375-7=-1,640625<0.
Nova intervalo: [a_{2},b_{2}]=[1,75,\,2].
Iteração 3:
c_{3}=\frac{1,75+2}{2}=1,875,\qquad f(1,875)=1,875^{3}-7=6,591796875-7=-0,408203125<0.
Nova intervalo: [a_{3},b_{3}]=[1,875,\,2].
Iteração 4:
c_{4}=\frac{1,875+2}{2}=1,9375,\qquad f(1,9375)=1,9375^{3}-7=\frac{29791}{4096}-7\approx 0,273681640625>0.
Como f(c_{4})>0 e f(1,875)<0, o novo intervalo é [a_{4},b_{4}]=[1,875,\,1,9375].

Passo 5

A partir do resultado da iteração 4 temos o intervalo final (após 4 iterações)
[a_{4},b_{4}]=[1,875,\,1,9375].
O comprimento desse intervalo é
b_{4}-a_{4}=1,9375-1,875=0,0625.
Se escolhermos como aproximação o ponto médio do intervalo final, obtemos
m=\frac{1,875+1,9375}{2}=1,90625.
A garantia de erro ao tomar o ponto médio do intervalo final é no máximo metade do comprimento do intervalo:
\text{erro máximo} \le \frac{b_{4}-a_{4}}{2}=\frac{0,0625}{2}=0,03125.á
Como 0,03125<0,06, essa aproximação satisfaz a precisão exigida.

Passo 6

Resumo e interpretação didática:
  • Fizemos exatamente 4 iterações (conforme a dica). Após essas 4 iterações o root está no intervalo [1,875,\,1,9375].
  • Tomando a média do intervalo final como aproximação (estratégia segura e comum), obtemos m=1,90625.
  • O erro garantido é \le 0,03125, que é menor que \varepsilon=0,06. Portanto a aproximação atende à precisão pedida.
  • Observação numérica rápida: o valor real \sqrt[3]{7}\approx 1,912931\ldots, e a nossa aproximação 1,90625 difere dele por cerca de 0,00668, bem dentro de \varepsilon.

Resposta

\text{Aproximação: }1,90625çã
\text{Número de iterações: }4úçõ

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