Aplique o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} 10 \cdot x_{1}-5 \cdot x_{2}+8 \cdot x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\\\ -1 \cdot x_{1}+14 \cdot x_{2}+1 \cdot x_{3}+6 x_{4}-3 x_{5}=2 \\\\ 4 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{2}+17 \cdot x_{3}-x_{4}+x_{5}=3 \\\\ -7 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+9 \cdot x_{3}+19 x_{4}-7 x_{5}=4 \\\\ -1 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{2}-3 \cdot x_{3}+4 x_{4}-55 x_{5}=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\) e pede que a gente aplique o método de eliminação de Gauss para encontrar essas incógnitas. As equações são: \[\begin{cases} 10\cdot x_{1}-5\cdot x_{2}+8\cdot x_{3}+x_{4}+x_{5}=1,\\[4pt] -1\cdot x_{1}+14\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}+6\cdot x_{4}-3\cdot x_{5}=2,\\[4pt] 4\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+17\cdot x_{3}-x_{4}+x_{5}=3,\\[4pt] -7\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+9\cdot x_{3}+19\cdot x_{4}-7\cdot x_{5}=4,\\[4pt] -1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}-3\cdot x_{3}+4\cdot x_{4}-55\cdot x_{5}=5. \end{cases}
Informações relevantes que vamos usar:
\text{incógnitas: }x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}.ó
A estratégia: montar a matriz aumentada e usar operações elementares (substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra) para triangularizar a matriz (zerar abaixo dos pivôs) e depois voltar por substituição regressiva para obter (x_i]. Não vamos pedir nada ao usuário — vou executar todo o processo passo a passo.]

Passo 2

Formo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos à direita):
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 10 & -5 & 8 & 1 & 1 & 1\\[2pt] -1 & 14 & 1 & 6 & -3 & 2\\[2pt] 4 & 2 & 17 & -1 & 1 & 3\\[2pt] -7 & 0 & 9 & 19 & -7 & 4\\[2pt] -1 & 2 & -3 & 4 & -55 & 5 \end{array}\right]
Explicação rápida do método: para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô a_{11}=10 usamos multiplicadores m_{i1}=a_{i1}/a_{11} e fazemos R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1. Isso preserva as soluções porque são operações elementares.]

Passo 3

Zerando a primeira coluna (usar a_{11}=10):
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{-1}{10},\quad m_{31}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},\quad m_{41}=\frac{-7}{10},\quad m_{51}=\frac{-1}{10}.
Aplicando R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1, R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1, R_4\leftarrow R_4 - m_{41}R_1, R_5\leftarrow R_5 - m_{51}R_1, obtemos a matriz (aqui mostro entradas em frações quando limpo e também em decimal aproximado para ajudar a visualizar):
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 10 & -5 & 8 & 1 & 1 & 1\\[2pt] 0 & \tfrac{27}{2} & \tfrac{9}{5} & \tfrac{61}{10} & -\tfrac{29}{10} & \tfrac{21}{10}\\[6pt] 0 & 4 & \tfrac{69}{5} & -\tfrac{7}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{13}{5}\\[6pt] 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{73}{5} & \tfrac{197}{10} & -\tfrac{63}{10} & \tfrac{47}{10}\\[6pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{11}{5} & \tfrac{41}{10} & -\tfrac{549}{10} & \tfrac{51}{10} \end{array}\right]
Em decimal aproximado (apenas para intuição):
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 10 & -5 & 8 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 13{,}5 & 1{,}8 & 6{,}1 & -2{,}9 & 2{,}1\\\\ 0 & 4 & 13{,}8 & -1{,}4 & 0{,}6 & 2{,}6\\\\ 0 & -3{,}5 & 14{,}6 & 19{,}7 & -6{,}3 & 4{,}7\\\\ 0 & 1{,}5 & -2{,}2 & 4{,}1 & -54{,}9 & 5{,}1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora escolhemos o pivô da segunda coluna a_{22}=\tfrac{27}{2} e zeramos abaixo dele (linhas 3,4,5). O multiplicador geral é m_{i2}=a_{i2}/a_{22}.
Cálculos dos multiplicadores:
m_{32}=\frac{4}{27/2}=\frac{8}{27},\quad m_{42}=\frac{-7/2}{27/2}=-\frac{7}{27},\quad m_{52}=\frac{3/2}{27/2}=\frac{1}{9}.
Aplicando R_i\leftarrow R_i - m_{i2}R_2 para i=3,4,5 obtemos (mostro frações simplificadas e a forma decimal aproximada para visualizar):
Linha 3 (frações):
R_3:\quad \bigl[0,\\\ 0,\\ \tfrac{199}{15},\\\ -\tfrac{433}{135},\\ \tfrac{197}{135}\\ \bigm|\\ \tfrac{89}{45}\bigr]
Linha 4 (frações):
R_4:\quad \bigl[0,\\\ 0,\\ \tfrac{226}{15},\\ \tfrac{2873}{135},\\\ -\tfrac{952}{135}\\ \bigm|\\ \tfrac{236}{45}\bigr]
Linha 5 (frações):
R_5:\quad \bigl[0,\\\ 0,\\\ -\tfrac{12}{5},\\ \tfrac{154}{45},\\\ -\tfrac{2456}{45}\\ \bigm|\\ \tfrac{73}{15}\bigr]
Em decimal aproximado:
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 10 & -5 & 8 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 13{,}5 & 1{,}8 & 6{,}1 & -2{,}9 & 2{,}1\\\\ 0 & 0 & 13{,}2666667 & -3{,}2074074 & 1{,}4592593 & 1{,}9777778\\\\ 0 & 0 & 15{,}0666667 & 21{,}2740741 & -7{,}0518519 & 5{,}2444444\\\\ 0 & 0 & -2{,}4 & 3{,}4222222 & -54{,}5777778 & 4{,}8666667 \end{array}\right]
Observação didática: agora temos zeros nas primeiras duas colunas abaixo dos pivôs, restando um sub-sistema 3\times3 nas colunas 3,4,5 das linhas 3,4,5.

Passo 5

Pivô na terceira coluna: a_{33}=\tfrac{199}{15} (aprox. 13{,}2666667). Vamos zerar as entradas a_{43} e a_{53}.
Multiplicadores:
m_{43}=\frac{226/15}{199/15}=\frac{226}{199}\approx 1{,}1356784,\qquad m_{53}=\frac{-12/5}{199/15}=\frac{-36}{199}\approx -0{,}1809045.
Aplicando R_4\leftarrow R_4 - m_{43}R_3 e R_5\leftarrow R_5 - m_{53}R_3, obtemos (aqui sigo em aproximação decimal para manter a leitura prática — isso é equivalente ao trabalho com frações muito grandes):
Linha 4 (após eliminação):
R_4\approx\bigl[0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 24{,}916481,\\\ -8{,}708450\\ \bigm|\\\ 2{,}9975308\bigr]
Linha 5 (após eliminação):
R_5\approx\bigl[0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 2{,}842000,\\\ -54{,}313880\\ \bigm|\\\ 5{,}224340\bigr]
Explicação: cada entrada de R_4 e R_5 foi atualizada subtraindo o multiplicador vezes a linha 3. O importante é que agora temos uma matriz triangular superior (zeros abaixo dos pivôs nas colunas 1,2,3).

Passo 6

Agora o sub-sistema final nas linhas 4 e 5 (duas equações para x_{4}\) e \(x_{5}\)) é, em forma aproximada: \[\begin{cases} 24{,}916481\;x_{4} - 8{,}708450\;x_{5} = 2{,}9975308,\\[4pt] 2{,}842000\;x_{4} -54{,}313880\;x_{5} = 5{,}224340. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema (2\times2] por qualquer método (aqui uso diferença/eliminação ou fórmula de Cramer).
Cálculo do determinante:
D = 24{,}916481\cdot(-54{,}313880) - (-8{,}708450)\cdot 2{,}842000 \approx -1{,}328{,}553{,}6.
Cálculo de x_{4} pelo determinante auxiliar:
D_{x_4} = 2{,}9975308\cdot(-54{,}313880) - (-8{,}708450)\cdot 5{,}224340 \approx -117{,}274{,}8.
Logo
x_{4} \approx \frac{D_{x_4}}{D} \approx \frac{-117{,}274{,}8}{-1{,}328{,}553{,}6}\approx 0{,}08833.
Cálculo de x_{5}:
D_{x_5} = 24{,}916481\cdot 5{,}224340 - 2{,}9975308\cdot 2{,}842000 \approx 121{,}654{,}0,
x_{5} \approx \frac{D_{x_5}}{D} \approx \frac{121{,}654{,}0}{-1{,}328{,}553{,}6}\approx -0{,}09160.
Portanto, em aproximação:
x_{4}\approx 0{,}08833,\qquad x_{5}\approx -0{,}09160.]

Passo 7

Agora voltamos por substituição (substituição regressiva) para encontrar x_{3}. Usamos a linha 3 (o pivô a_{33}=\tfrac{199}{15}):
\frac{199}{15}x_{3}+\Bigl(-\frac{433}{135}\Bigr)x_{4}+\frac{197}{135}x_{5}=\frac{89}{45}.
Usando os valores aproximados de x_{4} e x_{5} e passando para decimal:
13{,}2666667\;x_{3} + (-3{,}2074074)\cdot(0{,}08833) + 1{,}4592593\cdot(-0{,}09160) \approx 1{,}9777778.
Calcule as contribuições:
-3{,}2074074\cdot 0{,}08833\approx -0{,}2830,\qquad 1{,}4592593\cdot(-0{,}09160)\approx -0{,}1337.
Somando esses termos: -0{,}4167. Assim
13{,}2666667\;x_{3} \approx 1{,}9777778 + 0{,}4167 = 2{,}39447,
portanto
x_{3}\approx \frac{2{,}39447}{13{,}2666667}\approx 0{,}18054.

Passo 8

Seguindo para x_{2}, usamos a linha 2 (pivô a_{22}=\tfrac{27}{2}=13{,}5):
\frac{27}{2}x_{2}+\frac{9}{5}x_{3}+\frac{61}{10}x_{4}-\frac{29}{10}x_{5}=\frac{21}{10}.
Em decimal:
13{,}5\;x_{2}+1{,}8\;x_{3}+6{,}1\;x_{4}-2{,}9\;x_{5}=2{,}1.
Substituindo x_{3}, x_{4}, x_{5} aproximados:
1{,}8\cdot 0{,}18054 \approx 0{,}32497,\quad 6{,}1\cdot 0{,}08833 \approx 0{,}53882,\quad -2{,}9\cdot(-0{,}09160)\approx 0{,}26564.
Soma das contribuições = 0{,}32497+0{,}53882+0{,}26564\approx 1{,}12943. Então
13{,}5\;x_{2} \approx 2{,}1 - 1{,}12943 = 0{,}97057,
x_{2}\approx \frac{0{,}97057}{13{,}5}\approx 0{,}07189.

Passo 9

Finalmente encontramos x_{1} usando a primeira equação:
10x_{1}-5x_{2}+8x_{3}+x_{4}+x_{5}=1.
Substituindo os valores aproximados:
-5x_{2}\approx -5\cdot 0{,}07189 = -0{,}35945, \quad 8x_{3}\approx 8\cdot 0{,}18054 = 1{,}44432, \quad x_{4}\approx 0{,}08833,\quad x_{5}\approx -0{,}09160.
Somando as contribuições além de 10x_{1}:
-0{,}35945 + 1{,}44432 + 0{,}08833 - 0{,}09160 \approx 1{,}08160.
Portanto
10x_{1} \approx 1 - 1{,}08160 = -0{,}08160,
x_{1}\approx -0{,}00816.

Resposta

x_{1}\approx -0{,}00816
x_{2}\approx 0{,}07189
x_{3}\approx 0{,}18054
x_{4}\approx 0{,}08833
x_{5}\approx -0{,}09160

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