O enunciado dá um sistema linear com cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\) e pede que a gente aplique o método de eliminação de Gauss para encontrar essas incógnitas. As equações são:
\[\begin{cases} 10\cdot x_{1}-5\cdot x_{2}+8\cdot x_{3}+x_{4}+x_{5}=1,\\[4pt] -1\cdot x_{1}+14\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}+6\cdot x_{4}-3\cdot x_{5}=2,\\[4pt] 4\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+17\cdot x_{3}-x_{4}+x_{5}=3,\\[4pt] -7\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+9\cdot x_{3}+19\cdot x_{4}-7\cdot x_{5}=4,\\[4pt] -1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}-3\cdot x_{3}+4\cdot x_{4}-55\cdot x_{5}=5. \end{cases}
A estratégia: montar a matriz aumentada e usar operações elementares (substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra) para triangularizar a matriz (zerar abaixo dos pivôs) e depois voltar por substituição regressiva para obter (x_i]. Não vamos pedir nada ao usuário — vou executar todo o processo passo a passo.]
Passo 2
Formo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos à direita):
Explicação rápida do método: para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô a_{11}=10 usamos multiplicadores m_{i1}=a_{i1}/a_{11} e fazemos R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1. Isso preserva as soluções porque são operações elementares.]
Aplicando R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1, R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1, R_4\leftarrow R_4 - m_{41}R_1, R_5\leftarrow R_5 - m_{51}R_1, obtemos a matriz (aqui mostro entradas em frações quando limpo e também em decimal aproximado para ajudar a visualizar):
Observação didática: agora temos zeros nas primeiras duas colunas abaixo dos pivôs, restando um sub-sistema 3\times3 nas colunas 3,4,5 das linhas 3,4,5.
Passo 5
Pivô na terceira coluna: a_{33}=\tfrac{199}{15} (aprox. 13{,}2666667). Vamos zerar as entradas a_{43} e a_{53}.
Aplicando R_4\leftarrow R_4 - m_{43}R_3 e R_5\leftarrow R_5 - m_{53}R_3, obtemos (aqui sigo em aproximação decimal para manter a leitura prática — isso é equivalente ao trabalho com frações muito grandes):
Explicação: cada entrada de R_4 e R_5 foi atualizada subtraindo o multiplicador vezes a linha 3. O importante é que agora temos uma matriz triangular superior (zeros abaixo dos pivôs nas colunas 1,2,3).
Passo 6
Agora o sub-sistema final nas linhas 4 e 5 (duas equações para x_{4}\) e \(x_{5}\)) é, em forma aproximada:
\[\begin{cases} 24{,}916481\;x_{4} - 8{,}708450\;x_{5} = 2{,}9975308,\\[4pt] 2{,}842000\;x_{4} -54{,}313880\;x_{5} = 5{,}224340. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema (2\times2] por qualquer método (aqui uso diferença/eliminação ou fórmula de Cramer).
Cálculo do determinante:
D = 24{,}916481\cdot(-54{,}313880) - (-8{,}708450)\cdot 2{,}842000 \approx -1{,}328{,}553{,}6.