Sejam \bar{x}=1.37 e \bar{y}=2.94 aproximações para números x e y, cujos erros absolutos são, respectivamente E A_{x} \approx 0.42 e E A_{y} \approx 0.68. Determine o erro absoluto E A e o erro relativo E R quando utilizamos o valor \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} para aproximar x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá aproximações e erros absolutos para dois números e pede o erro absoluto e o erro relativo ao aproximar x^{2}+y^{2} por \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}.
Dados fornecidos:
\bar{x}=1,37.
\bar{y}=2,94.
Erro absoluto de \bar{x}: E A_{x}\approx 0,42. (Isto significa |x-\bar{x}|\le 0,42.)
Erro absoluto de \bar{y}: E A_{y}\approx 0,68. (Isto significa |y-\bar{y}|\le 0,68.)
O que o problema pede:
  • Determinar o erro absoluto E A associado à aproximação \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} de x^{2}+y^{2}.
  • Determinar o erro relativo E R correspondente.

Passo 2

Definições importantes (para a nossa intuição):
  • Erro absoluto da aproximação de uma quantidade S por \bar{S} é
E A = |S-\bar{S}|.
Aqui S=x^{2}+y^{2} e \bar{S}=\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}, logo
E A = \bigl|x^{2}+y^{2} - (\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2})\bigr|.
  • Erro relativo é (normalmente)
E R = \frac{E A}{|S|}.
Como S não é conhecido exatamente, é usual estimar E R usando S\approx\bar{S}, isto é
E R \approx \frac{E A}{\bigl|\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}\bigr|}.

Passo 3

Escrever a diferença explícita e manipulá-la para obter uma forma útil:
x^{2}+y^{2} - (\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}) = (x-\bar{x})(x+\bar{x}) + (y-\bar{y})(y+\bar{y}).
Tomando valor absoluto e usando desigualdade triangular:
E A \le |x-\bar{x}|\,|x+\bar{x}| + |y-\bar{y}|\,|y+\bar{y}|.
Como sabemos apenas que |x-\bar{x}|\le E A_{x} e |y-\bar{y}|\le E A_{y}, podemos escrever
E A \le E A_{x}\,|x+\bar{x}| + E A_{y}\,|y+\bar{y}|.

Passo 4

Transformar o termo |x+\bar{x}| e |y+\bar{y}| em quantidades conhecidas (usando que x=\bar{x}+(x-\bar{x})):
x+\bar{x} = 2\bar{x} + (x-\bar{x}) \quad\Rightarrow\quad |x+\bar{x}|\le 2|\bar{x}| + |x-\bar{x}|\le 2|\bar{x}| + E A_{x}.
De modo análogo,
|y+\bar{y}|\le 2|\bar{y}| + E A_{y}.
Substituindo nas desigualdades obtemos um limite superior rigoroso:
E A \le E A_{x}\bigl(2|\bar{x}|+E A_{x}\bigr) + E A_{y}\bigl(2|\bar{y}|+E A_{y}\bigr).

Passo 5

Calcular o limite superior rigoroso usando os números dados.
Primeiro calculemos componentes com \bar{x}=1,37, \bar{y}=2,94, E A_{x}=0,42, E A_{y}=0,68.
Para x:
2|\bar{x}|+E A_{x} = 2\cdot 1,37 + 0,42 = 2,74 + 0,42 = 3,16.
Multiplicando por E A_{x}:
E A_{x}\bigl(2|\bar{x}|+E A_{x}\bigr) = 0,42\cdot 3,16 = 1,3272.
Para y:
2|\bar{y}|+E A_{y} = 2\cdot 2,94 + 0,68 = 5,88 + 0,68 = 6,56.
Multiplicando por E A_{y}:
E A_{y}\bigl(2|\bar{y}|+E A_{y}\bigr) = 0,68\cdot 6,56 = 4,4608.
Somando as duas partes:
E A \le 1,3272 + 4,4608 = 5,7880.
Portanto obtemos o limite superior rigoroso
E A \le 5,7880.

Passo 6

Método prático (mais usado em provas): aproximação de primeira ordem (linearização) usando diferencial total.
Considere f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
A diferencial total é
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy = 2x\,dx + 2y\,dy.
Ao aproximar x e y por \bar{x} e \bar{y} e tomar os incrementos por |dx|\le E A_{x}, |dy|\le E A_{y}, obtemos a estimativa de primeira ordem (neglectando termos quadráticos em dx,dy):
E A \approx 2|\bar{x}|\,E A_{x} + 2|\bar{y}|\,E A_{y}.
Calculemos numericamente:
2|\bar{x}|\,E A_{x} = 2\cdot 1,37\cdot 0,42 = 2,74\cdot 0,42 = 1,1508,
2|\bar{y}|\,E A_{y} = 2\cdot 2,94\cdot 0,68 = 5,88\cdot 0,68 = 3,9984.
Somando:
E A \approx 1,1508 + 3,9984 = 5,1492.
Essa é a estimativa de primeira ordem (mais habitual em exercícios), enquanto o passo anterior deu um limite superior mais conservador 5,7880 (inclui termos de ordem 2).

Passo 7

Agora calculemos o erro relativo usando a estimativa prática. Primeiro calculemos o valor aproximado do denominador:
\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} = 1,37^{2} + 2,94^{2}.
Calculando:
1,37^{2} = 1,8769,\qquad 2,94^{2} = 8,6436,
\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} = 1,8769 + 8,6436 = 10,5205.
Usando E A \approx 5,1492, o erro relativo aproximado fica
E R \approx \frac{5,1492}{10,5205} \approx 0,4893,
ou seja cerca de 48{,}93\%.
Se quisermos o limite superior correspondente ao limite rigoroso de E A, teríamos
E R \le \frac{5,7880}{10,5205} \approx 0,5501\quad(\text{ou }55{,}01\%),
que é uma estimativa conservadora.

Passo 8

Interpretação e dica: o procedimento padrão numa prova é usar a linearização (Passo 6) para obter E A aproximado e então dividir por \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} para o E R aproximado. É bom mencionar o limite superior (Passo 5) se a questão pedir uma garantia rígida. Note que ambos indicam erro relativamente grande — sinal de que as aproximações iniciais têm erros absolutos substanciais comparados ao valor da soma dos quadrados.

Resposta

E A \approx 5,1492.
E R \approx 0,4893 (aproximadamente 48{,}93\%).

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