Sejam \bar{x}=1.37 e \bar{y}=2.94 aproximações para números x e y, cujos erros absolutos são, respectivamente E A_{x} \approx 0.42 e E A_{y} \approx 0.68. Determine o erro absoluto E A e o erro relativo E R quando utilizamos o valor \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} para aproximar x^{2}+y^{2}.
Passo 1
O enunciado dá aproximações e erros absolutos para dois números e pede o erro absoluto e o erro relativo ao aproximar x^{2}+y^{2} por \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}.
Dados fornecidos: \bar{x}=1,37. \bar{y}=2,94.
Erro absoluto de \bar{x}: E A_{x}\approx 0,42. (Isto significa |x-\bar{x}|\le 0,42.)
Erro absoluto de \bar{y}: E A_{y}\approx 0,68. (Isto significa |y-\bar{y}|\le 0,68.)
O que o problema pede:
Determinar o erro absoluto E A associado à aproximação \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} de x^{2}+y^{2}.
Determinar o erro relativo E R correspondente.
Passo 2
Definições importantes (para a nossa intuição):
Erro absoluto da aproximação de uma quantidade S por \bar{S} é
E A = |S-\bar{S}|.
Aqui S=x^{2}+y^{2} e \bar{S}=\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}, logo
E A = \bigl|x^{2}+y^{2} - (\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2})\bigr|.
Erro relativo é (normalmente)
E R = \frac{E A}{|S|}.
Como S não é conhecido exatamente, é usual estimar E R usando S\approx\bar{S}, isto é
E R \approx \frac{E A}{\bigl|\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}\bigr|}.
Passo 3
Escrever a diferença explícita e manipulá-la para obter uma forma útil:
Ao aproximar x e y por \bar{x} e \bar{y} e tomar os incrementos por |dx|\le E A_{x}, |dy|\le E A_{y}, obtemos a estimativa de primeira ordem (neglectando termos quadráticos em dx,dy):
E A \approx 2|\bar{x}|\,E A_{x} + 2|\bar{y}|\,E A_{y}.
Essa é a estimativa de primeira ordem (mais habitual em exercícios), enquanto o passo anterior deu um limite superior mais conservador 5,7880 (inclui termos de ordem 2).
Passo 7
Agora calculemos o erro relativo usando a estimativa prática. Primeiro calculemos o valor aproximado do denominador:
Usando E A \approx 5,1492, o erro relativo aproximado fica
E R \approx \frac{5,1492}{10,5205} \approx 0,4893,
ou seja cerca de 48{,}93\%.
Se quisermos o limite superior correspondente ao limite rigoroso de E A, teríamos
E R \le \frac{5,7880}{10,5205} \approx 0,5501\quad(\text{ou }55{,}01\%),
que é uma estimativa conservadora.
Passo 8
Interpretação e dica: o procedimento padrão numa prova é usar a linearização (Passo 6) para obter E A aproximado e então dividir por \bar{x}^{2}+\bar{y}^{2} para o E R aproximado. É bom mencionar o limite superior (Passo 5) se a questão pedir uma garantia rígida. Note que ambos indicam erro relativamente grande — sinal de que as aproximações iniciais têm erros absolutos substanciais comparados ao valor da soma dos quadrados.