Determine uma aproximação para o zero da função com erro inferior a 10^{-2}
h(x)=x{4}+x{2}-x-18.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação de uma raiz de
h(x)=x^4+x^2-x-18
com erro inferior a 10^-2. Como não precisamos de fórmula fechada, mas só garantir um limite de erro, o método da bisseção é adequado: ele assegura que a raiz está num intervalo cujo comprimento podemos tornar arbitrariamente pequeno.

Passo 2

Primeiro, identificamos um intervalo [a,b] em que h(a) e h(b) tenham sinais opostos, garantindo existência de raiz por Bolzano.
Calculamos
h(-2)=(-2)^4+(-2)^2-(-2)-18 =16+4+2-18=4>0,
h(-1)=(-1)^4+(-1)^2-(-1)-18 =1+1+1-18=-15<0
Logo, existe pelo menos uma raiz em [-2,-1].

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção sucessivamente, até obter um sub-intervalo de comprimento menor que 0,02 (metade do qual é 0,01, nosso erro máximo permitido).
  1. c1=-1,5:
    h(-1,5)approx5,0625+2,25+1,5-18=-9,1875<0
    Nova faixa: [-2,,-1,5], largura 0,5.
  2. c2=-1,75:
    h(-1,75)approx9,3789+3,0625+1,75-18=-3,8086<0
    Nova faixa: [-2,,-1,75], largura 0,25.
  3. c3=-1,875:
    h(-1,875)approx12,359+3,5156+1,875-18=-0,2504<0
    Nova faixa: [-2,,-1,875], largura 0,125.
  4. c4=-1,9375:
    h(-1,9375)approx14,106+3,7549+1,9375-18=1,7984>0
    Nova faixa: [-1,9375,,-1,875], largura 0,0625.

Passo 4

Continuamos até atingir largura <0,02:
  1. c5=-1,90625:
    h(-1,90625)approx13,211+3,6348+1,9063-18=0,7516>0
    Nova faixa: [-1,90625,,-1,875], largura 0,03125.
  2. c6=-1,890625:
    h(-1,890625)approx12,7761+3,5744+1,8906-18=0,2411>0
    Nova faixa: [-1,890625,,-1,875], largura 0,015625.
  3. c7=-1,8828125:
    h(-1,8828125)approx12,5663+3,5449+1,8828-18=-0,0060<0
    Nova faixa: [-1,890625,,-1,8828125], largura 0,0078125<0,02.
Metade dessa largura é 0,00390625<0,01, logo qualquer ponto do intervalo tem erro inferior a 10^-2.

Resposta

Uma boa aproximação é o ponto médio
xapprox -1,88671875,
que, arredondado com duas casas decimais, dá
xapprox -1,89
com erro inferior a 10^-2.

Exercícios relacionados