4^a Questão ( 0,4 ponto): Os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média diária de monóxido de carbono no ar será c(p)=0,5 p+1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil de habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será p(t)=10+0,1 t^2 mil habitantes.
a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar em função do tempo.
b) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 parte por milhão?

Passo 1

O enunciado dá duas funções: a concentração média de CO em função da população
c(p)=0,5,p+1
(e a população está em milhares de habitantes, a concentração em ppm) e o crescimento populacional
p(t)=10+0,1,t^2
(com t em anos). Pede-se:
a) obter c em função de t (isto é, fazer a composição c(p(t)));
b) achar quando c(t) atinge 6,8 ppm.

Passo 2

Para encontrar c em função do tempo, substituímos p por p(t) em c(p):
c(t)=0,5l(p(t)r)+1 =0,5l(10+0,1,t^2r)+1
Agora é só simplificar:
0,5cdot10=5, 0,5cdot0,1,t^2=0,05,t^2,
então
c(t)=5+0,05,t^2+1=6+0,05,t^2

Passo 3

Queremos t tal que c(t)=6,8. Montamos a equação
6+0,05,t^2=6,8
Subtraindo 6 de ambos os lados:
0,05,t^2=0,8
Dividindo por 0,05:
t^2=0,80,05=16
Rightarrow t=pm4. Como t é tempo (anos) e não faz sentido ser negativo, ficamos com
t=4 anos

Resposta

a) c(t)=6+0,05,t^2 ppm.
b) c(t)=6,8 ppm em t=4 anos.

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