Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Denotando o termo geral por
Tn = (-1)^nx^2n2^2n(n!)^2,
avaliamos o quociente absoluto entre termos consecutivos:
|Tn+1Tn| = |(-1)^n+1x^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2 cdot2^2n(n!)^2(-1)^nx^2n| = x^24,(n+1)^2

Passo 3

Aplicando o limite do teste da razão:
limntoinftyx^24,(n+1)^2 = 0
Como esse limite é menor que 1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 4

Do teste da razão, o raio de convergência R é dado por
R = infty

Passo 5

Como o raio é infinito, o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R = infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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