Determine uma aproximação para o zero da função com erro inferior a 10^{-2}
g(x)=x
\cdot \ln (x)-2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma aproximação para o zero da função
g(x)=xln(x)-2
com erro inferior a 10^-2. Vamos usar o método da bisseção, que é um procedimento numérico para encontrar raízes de funções contínuas em que controlamos a precisão pela largura do intervalo.

Passo 2

Precisamos de um intervalo [a,b] em que g(a) e g(b) tenham sinais opostos. Calculando
g(2)=2ln(2)-2approx-0,614<0, g(3)=3ln(3)-2approx1,296>0,
vemos que em [2,3] a função muda de sinal, logo contém pelo menos uma raiz.

Passo 3

No método da bisseção, a cada iteração escolhemos o ponto médio
m=a+b2
e avaliamos g(m). Se g(m) tiver o mesmo sinal que g(a), substituímos a por m; caso contrário, substituímos b por m. O erro após n iterações satisfaz
bn - an = b0 - a02^n
Para garantir erro absoluto menor que 10^-2, basta ter
3-22^n <= 2times10^-2 Longrightarrow 2^-n<=0,02 Longrightarrow n>=6

Passo 4

Aplicando 6 iterações começando com [a0,b0]=[2,3]:
  • Iteração 1: m1=2,5, g(m1)approx0,291>0 to novo intervalo [2,2,5].
  • Iteração 2: m2=2,25, g(m2)approx-0,175<0 to [2,25,2,5].
  • Iteração 3: m3=2,375, g(m3)approx0,054>0 to [2,25,2,375].
  • Iteração 4: m4=2,3125, g(m4)approx-0,062<0 to [2,3125,2,375].
  • Iteração 5: m5=2,34375, g(m5)approx-0,003<0 to [2,34375,2,375].
  • Iteração 6: m6=2,359375, g(m6)approx0,024>0 to [2,34375,2,359375].
Após 6 iterações temos
b6 - a6 = 2,359375 - 2,34375 = 0,015625 < 2cdot10^-2,
logo o erro máximo na raiz é tfracb6-a62=0,0078125<10^-2. A melhor aproximação é o ponto médio final
xap=2,34375+2,3593752=2,3515625

Resposta

Uma aproximação para a raiz de g(x)=xln(x)-2 com erro inferior a 10^-2 é
xapprox2,35

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