Determine uma aproximação para o zero da função com erro inferior a 10^{-2}
f(x)=x^{3}+x-4;
f(x)=x^{3}+x-4;
Passo 1
A questão pede para aproximar, com erro inferior a
, um zero da função
. O conteúdo aqui envolve localização de raízes usando o Teorema do Valor Intermediário e o método da bisseção, para o qual vamos precisar verificar mudança de sinal de
e garantir o erro por meio do comprimento do intervalo.
Passo 2
Verificamos sinais nos extremos do intervalo inicial: calculamos
e
. Como
e
, há pelo Teorema do Valor Intermediário pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Pelo método da bisseção, a cada iteração definimos o ponto médio
e verificamos o sinal de
para atualizar o intervalo. O erro após
iterações é dado por
Para garantir erro inferior a
, usamos
Passo 4
Executando 6 iterações da bisseção, obtemos os seguintes resultados:
-
, ⇒ intervalo . -
, ⇒ intervalo . -
, ⇒ intervalo . -
, ⇒ intervalo . -
, ⇒ intervalo . -
, ⇒ intervalo final .
O comprimento desse intervalo é, de modo que o erro máximo (metade do comprimento) é . A aproximação da raiz é o ponto médio desse intervalo:
Resposta
x \approx 1.38