Determine uma aproximação para o zero da função com erro inferior a 10^{-2}
f(x)=x^{3}+x-4;

Passo 1

A questão pede para aproximar, com erro inferior a 10^-2, um zero da função f(x)=x^3+x-4. O conteúdo aqui envolve localização de raízes usando o Teorema do Valor Intermediário e o método da bisseção, para o qual vamos precisar verificar mudança de sinal de f e garantir o erro por meio do comprimento do intervalo.

Passo 2

Verificamos sinais nos extremos do intervalo inicial: calculamos f(1)=1^3+1-4=-2 e f(2)=2^3+2-4=6. Como f(1)<0 e f(2)>0, há pelo Teorema do Valor Intermediário pelo menos uma raiz em [1,2].

Passo 3

Pelo método da bisseção, a cada iteração definimos o ponto médio
mn = an-1 + bn-12
e verificamos o sinal de f(mn) para atualizar o intervalo. O erro após n iterações é dado por
b - a2^n
Para garantir erro inferior a 10^-2, usamos
b - a2^n < 0.02 implies 2^n > 50 implies n >= 6

Passo 4

Executando 6 iterações da bisseção, obtemos os seguintes resultados:
  1. m1=1.5, f(m1)=0.875>0 ⇒ intervalo [1,1.5].
  2. m2=1.25, f(m2)=-0.797<0 ⇒ intervalo [1.25,1.5].
  3. m3=1.375, f(m3)=-0.026<0 ⇒ intervalo [1.375,1.5].
  4. m4=1.4375, f(m4)=0.408>0 ⇒ intervalo [1.375,1.4375].
  5. m5=1.40625, f(m5)=0.187>0 ⇒ intervalo [1.375,1.40625].
  6. m6=1.390625, f(m6)=0.079>0 ⇒ intervalo final [1.375,1.390625].
    O comprimento desse intervalo é 0.015625, de modo que o erro máximo (metade do comprimento) é 0.0078125<10^-2. A aproximação da raiz é o ponto médio desse intervalo:
x approx 1.375 + 1.3906252 = 1.3828125

Resposta

x \approx 1.38

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