Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
Passo 1
Resumindo, temos a série de potências
e queremos encontrar o raio de convergência
e o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potências.
Passo 2
O Teste da Razão diz que, para termos
devemos calcular
Se
L<1 a série converge, se
L>1 diverge, e
L=1 o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calculemos a razão:
Portanto
Passo 4
Observando o limite
vemos que:
- Se
, entãolvert xrvert>0 , ou seja(n+1),lvert xrverttoinfty e a série diverge.L=infty>1 - Se
, entãolvert xrvert=0 e a série converge (na verdade só sobra o termo constanteL=0<1 ).n=0
Logo, a única forma de ter
L<1 é
lvert xrvert=0 .
Passo 5
Pelo teste da razão, o raio de convergência
R satisfaz
Como a série converge apenas em
lvert xrvert=0 , concluímos que
O intervalo de convergência é portanto apenas o ponto
0 .
Resposta
O raio de convergência é
R = 0 e o intervalo de convergência é
0 .