Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=0^infty n!x^n

Passo 1

Resumindo, temos a série de potências
sumn=0^infty n!,x^n
e queremos encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potências.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, para termos
an = n!,x^n,
devemos calcular
L = limntoinfty |an+1an|
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos a razão:
|an+1an| = |(n+1)!,x^,n+1n!,x^n| = (n+1),lvert xrvert
Portanto
L = limntoinfty (n+1),lvert xrvert

Passo 4

Observando o limite
L = limntoinfty (n+1),lvert xrvert,
vemos que:
  • Se lvert xrvert>0, então (n+1),lvert xrverttoinfty, ou seja L=infty>1 e a série diverge.
  • Se lvert xrvert=0, então L=0<1 e a série converge (na verdade só sobra o termo constante n=0).
Logo, a única forma de ter L<1 é lvert xrvert=0.

Passo 5

Pelo teste da razão, o raio de convergência R satisfaz
lvert xrvert < R Longrightarrow série conver>= é
Como a série converge apenas em lvert xrvert=0, concluímos que
R = 0
O intervalo de convergência é portanto apenas o ponto 0.

Resposta

O raio de convergência é R = 0 e o intervalo de convergência é 0.

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