Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
S é o disco dado por u^2+v^2 <= 1 ; x=a u, y=b v

Passo 1

O enunciado dá o disco
S = (u,v)mid u^2+v^2 <= 1
e a transformação linear
x = a,u, y = b,v
O objetivo é encontrar a imagem de S no plano xy. Vamos usar a definição da imagem de conjunto sob transformação e eliminar as variáveis u,v.

Passo 2

Da transformação x=a,u e y=b,v isolamos
u = xa, v = yb

Passo 3

Como os pontos de S satisfazem u^2+v^2<=1, basta substituir u e v:
(xa)^2 + (yb)^2 <= 1
Isso define uma elipse centrada na origem com semi-eixos de comprimentos |a| e |b|.

Resposta

A imagem de S é
(x,y)mid l(x/ar)^2 + l(y/br)^2 <= 1,
isto é, a elipse de semi-eixos a e b.

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