Mostre que, para todo \mathbf{c} \in \mathbb{R}, a família de funções
y(x)=2\left(\frac{1+c e^{4 x}}{1-c e^{4 x}}\right)
é solução da equação diferencial
y^{\prime}=y^{2}-4 .

Passo 1

O enunciado dá a família de funções
y(x)=2\left(\frac{1+c e^{4 x}}{1-c e^{4 x}}\right)
com parâmetro \;c\in\mathbb{R}\; e pede para mostrar que cada função dessa família satisfaz a equação diferencial
y^{\prime}=y^{2}-4 .
Informações relevantes:
  • A função é escrita como y(x)=2R(x) onde R(x)=\dfrac{1+c e^{4x}}{1-c e^{4x}}.
  • Para provar que y é solução, preciso calcular y^{\prime} (derivada em relação a x) e mostrar que esse resultado é igual a y^{2}-4.
  • Atenção ao domínio: a expressão está definida somente quando 1-c e^{4x}\neq0. Em pontos onde 1-c e^{4x}=0 a função não está definida (ou seja, há assimptotas verticais nesses x).

Passo 2

Vou calcular y^{\prime}. Primeiro escrevo y em termos de R:
y(x)=2R(x),\qquad R(x)=\frac{1+c e^{4x}}{1-c e^{4x}}.
Explico as regras de derivação que vou usar:
  • Derivada do exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{4x}=4e^{4x} (regra da cadeia: derivada do expoente 4x é 4).
  • Regra do quociente: se R=\dfrac{u}{v} então \dfrac{dR}{dx}=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    Agora defino u(x)=1+c e^{4x} e v(x)=1-c e^{4x}. Calculo u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(1+c e^{4x}\big)=c\cdot 4e^{4x}=4c e^{4x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(1-c e^{4x}\big)=-c\cdot 4e^{4x}=-4c e^{4x}.
Aplicando a regra do quociente:
R'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{(4c e^{4x})(1-c e^{4x})-(1+c e^{4x})(-4c e^{4x})}{(1-c e^{4x})^{2}}.
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
(4c e^{4x})(1-c e^{4x})-(1+c e^{4x})(-4c e^{4x}) =4c e^{4x}(1-c e^{4x})+4c e^{4x}(1+c e^{4x}).
Agrupando os termos:
4c e^{4x}\big[(1-c e^{4x})+(1+c e^{4x})\big]=4c e^{4x}\cdot (2)=8c e^{4x}.
Logo
R'(x)=\frac{8c e^{4x}}{(1-c e^{4x})^{2}}.
Como y=2R, a derivada é
y'(x)=2R'(x)=\frac{16c e^{4x}}{(1-c e^{4x})^{2}}.

Passo 3

Agora calculo y^{2}-4 e mostro que coincide com y'. Como y=2R,
y^{2}=4R^{2}=4\left(\frac{1+c e^{4x}}{1-c e^{4x}}\right)^{2} =\frac{4(1+c e^{4x})^{2}}{(1-c e^{4x})^{2}}.
Portanto
y^{2}-4 =\frac{4(1+c e^{4x})^{2}}{(1-c e^{4x})^{2}}-4.
Coloco em denominador comum (1-c e^{4x})^{2}:
y^{2}-4 =4\cdot\frac{(1+c e^{4x})^{2}-(1-c e^{4x})^{2}}{(1-c e^{4x})^{2}}.
Aqui uso a identidade diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Com a=1+c e^{4x} e b=1-c e^{4x} temos
(1+c e^{4x})^{2}-(1-c e^{4x})^{2}=\big[(1+c e^{4x})-(1-c e^{4x})\big]\big[(1+c e^{4x})+(1-c e^{4x})\big].
Calculo cada fator:
(1+c e^{4x})-(1-c e^{4x})=2c e^{4x},\qquad (1+c e^{4x})+(1-c e^{4x})=2.
Multiplicando:
(1+c e^{4x})^{2}-(1-c e^{4x})^{2}=2c e^{4x}\cdot 2=4c e^{4x}.
Substituo isso em y^{2}-4:
y^{2}-4=4\cdot\frac{4c e^{4x}}{(1-c e^{4x})^{2}}=\frac{16c e^{4x}}{(1-c e^{4x})^{2}}.

Passo 4

Comparei os resultados obtidos:
y'(x)=\frac{16c e^{4x}}{(1-c e^{4x})^{2}} \qquad\text{e}\qquad y^{2}-4=\frac{16c e^{4x}}{(1-c e^{4x})^{2}}.
Portanto y'(x)=y^{2}(x)-4 para todo x em que a função está definida (isto é, para todo x tal que 1-c e^{4x}\neq0). Conclui-se que, para cada c\in\mathbb{R}, a função dada é de fato uma solução da equação diferencial no seu domínio de definição.

Resposta

A família y(x)=2\big(\dfrac{1+c e^{4 x}}{1-c e^{4 x}}\big) satisfaz y^{\prime}=y^{2}-4 para todo c\in\mathbb{R} e todo x tal que 1-c e^{4x}\neq0.

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