Mostre que, para todo
, a família de funções
é solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a família de funções
com parâmetro
e pede para mostrar que cada função dessa família satisfaz a equação diferencial
Informações relevantes:
- A função é escrita como
onde . - Para provar que
é solução, preciso calcular (derivada em relação a ) e mostrar que esse resultado é igual a . - Atenção ao domínio: a expressão está definida somente quando
. Em pontos onde a função não está definida (ou seja, há assimptotas verticais nesses ).
Passo 2
Vou calcular
. Primeiro escrevo
em termos de
:
Explico as regras de derivação que vou usar:
- Derivada do exponencial:
(regra da cadeia: derivada do expoente é ). - Regra do quociente: se
então .
Agora definoe . Calculo e :
Aplicando a regra do quociente:
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
Agrupando os termos:
Logo
Como
, a derivada é
Passo 3
Agora calculo
e mostro que coincide com
. Como
,
Portanto
Coloco em denominador comum
:
Aqui uso a identidade diferença de quadrados
. Com
e
temos
Calculo cada fator:
Multiplicando:
Substituo isso em
:
Passo 4
Comparei os resultados obtidos:
Portanto
para todo
em que a função está definida (isto é, para todo
tal que
). Conclui-se que, para cada
, a função dada é de fato uma solução da equação diferencial no seu domínio de definição.
Resposta
A família
satisfaz
para todo
e todo
tal que
.