Determine a área do conjunto dado.
R é região limitada pelas curvas x=-1, x=1, y=-1, y=1+x^2 e x=y^2;

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas x=-1, x=1, y=-1, y=1+x^2 e x=y^2. Vamos usar integração em x para encontrar a área, traduzindo as fronteiras em condições sobre y para cada x.

Passo 2

Para um x fixo em [-1,1], y deve satisfazer simultaneamente
  • y>=-1,
  • y<=1+x^2,
  • x<= y^2 (região à esquerda da parábola).
    A condição x<= y^2 é automaticamente verdadeira quando x<=0, e força |y|>=raizx quando x>0.

Passo 3

Dividimos a integral em dois pedaços:
  1. Para xin[-1,0], a condição x<= y^2 é sempre respeitada, então
integralx=-1^0l[(1+x^2)-(-1)r],dx =integral-1^0(2+x^2),dx =l[2x+tfracx^33r]-1^0 =2cdot0+0-l(-2+(-1)^3/3r) =2+tfrac13 =tfrac73

Passo 4

  1. Para xin[0,1], precisamos de yin[-1,1+x^2] e |y|>=raizx. Isso gera dois intervalos de y: de -1 a -raizx e de raizx a 1+x^2. Assim
integral0^1l[(-raizx-(-1)) +l((1+x^2)-raizxr)r],dx =integral0^1l(2 + x^2 -2raizxr),dx
Calculando cada parte:
integral0^12,dx=2, integral0^1x^2,dx=tfrac13, integral0^12raizx,dx=2cdottfrac23=tfrac43
Logo
integral0^1(2+x^2-2raizx),dx=2+tfrac13-tfrac43=1

Passo 5

Somando as duas partes, a área total é
tfrac73+1=tfrac103

Resposta

tfrac103

Exercícios relacionados