Uma esfera está inscrita em um cilindro de 150 \pi \mathrm{~cm}^{2} de área total. Determine a área e o volume dessa esfera.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação dada: Um cilindro tem área total igual a 150\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • Informação dada: Uma esfera está inscrita nesse cilindro (ou seja, a esfera toca lateral e as duas bases do cilindro).
  • Perguntas: Determinar a área da esfera e o volume da esfera.

Passo 2

Vamos definir variáveis claras para trabalhar e listar as fórmulas que usaremos.
  • Seja R o raio da esfera (em cm).
  • Seja r o raio do cilindro (em cm).
  • Seja h a altura do cilindro (em cm).
Fórmulas importantes (explicadas):
  • A área total de um cilindro é a soma da área lateral com as duas bases:
A_{\text{cil}} = 2\pi r h + 2\pi r^2,
onde 2\pi r h é a área lateral (perímetro da base \times altura) e 2\pi r^2 é a soma das áreas das duas bases (cada base tem área \pi r^2).
  • A área da superfície de uma esfera de raio R é
A_{\text{esf}} = 4\pi R^2.
  • O volume de uma esfera de raio R é
V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\pi R^3.
Aqui R é o raio da esfera; em todas as fórmulas \pi é a constante geométrica (~3,14159).

Passo 3

Relação geométrica entre esfera inscrita e cilindro:
Quando uma esfera está inscrita num cilindro:
  • A esfera toca as duas bases do cilindro nos pontos “norte” e “sul”, portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. Logo
h = 2R.
  • A esfera também toca a superfície lateral do cilindro, portanto o raio da base do cilindro é igual ao raio da esfera. Logo
r = R.
Essas duas relações vêm do fato de que o centro da esfera coincide com o eixo do cilindro e as tangências fazem com que os comprimentos coincidam como acima.

Passo 4

Substituir r=R e h=2R na fórmula da área total do cilindro e simplificar:
A_{\text{cil}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi R (2R) + 2\pi R^2.
Calcule cada termo:
2\pi R (2R) = 4\pi R^2, \qquad 2\pi R^2 = 2\pi R^2.
Somando:
A_{\text{cil}} = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2.

Passo 5

Usar o valor dado A_{\text{cil}} = 150\pi para encontrar R:
6\pi R^2 = 150\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi:
6 R^2 = 150.
Dividindo por 6:
R^2 = 25.
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo):
R = 5\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a área da esfera com R=5\\ \mathrm{cm}:
A_{\text{esf}} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Explanação rápida: substituiu-se R na fórmula 4\pi R^2 e efetuou-se a multiplicação.

Passo 7

Calcular o volume da esfera com R=5\\ \mathrm{cm}:
V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\\ \mathrm{cm}^3.
Passos: calculou-se 5^3=125, multiplicou-se por 4 obtendo 500, e dividiu-se por 3.

Passo 8

Pequena verificação mental: o cilindro tinha área total 150\pi. Para R=5, o cilindro teria área 6\pi R^2 = 6\pi\cdot25 = 150\pi, consistente com o enunciado. A área da esfera 100\pi é menor que a área total do cilindro, como esperado.

Resposta

A_{\text{esfera}} = 100\pi\\ \mathrm{cm}^2
V_{\text{esfera}} = \dfrac{500}{3}\pi\\ \mathrm{cm}^3

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