Uma esfera está inscrita em um cilindro de
de área total. Determine a área e o volume dessa esfera.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação dada: Um cilindro tem área total igual a
. - Informação dada: Uma esfera está inscrita nesse cilindro (ou seja, a esfera toca lateral e as duas bases do cilindro).
- Perguntas: Determinar a área da esfera e o volume da esfera.
Passo 2
Vamos definir variáveis claras para trabalhar e listar as fórmulas que usaremos.
- Seja
o raio da esfera (em cm). - Seja
o raio do cilindro (em cm). - Seja
a altura do cilindro (em cm).
Fórmulas importantes (explicadas):
- A área total de um cilindro é a soma da área lateral com as duas bases:
onde
é a área lateral (perímetro da base
altura) e
é a soma das áreas das duas bases (cada base tem área
).
- A área da superfície de uma esfera de raio
é
- O volume de uma esfera de raio
é
Aqui
é o raio da esfera; em todas as fórmulas
é a constante geométrica (~3,14159).
Passo 3
Relação geométrica entre esfera inscrita e cilindro:
Quando uma esfera está inscrita num cilindro:
- A esfera toca as duas bases do cilindro nos pontos “norte” e “sul”, portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. Logo
- A esfera também toca a superfície lateral do cilindro, portanto o raio da base do cilindro é igual ao raio da esfera. Logo
Essas duas relações vêm do fato de que o centro da esfera coincide com o eixo do cilindro e as tangências fazem com que os comprimentos coincidam como acima.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da área total do cilindro e simplificar:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Usar o valor dado
para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo):
Passo 6
Calcular a área da esfera com
:
Explanação rápida: substituiu-se
na fórmula
e efetuou-se a multiplicação.
Passo 7
Calcular o volume da esfera com
:
Passos: calculou-se
, multiplicou-se por
obtendo
, e dividiu-se por
.
Passo 8
Pequena verificação mental: o cilindro tinha área total
. Para
, o cilindro teria área
, consistente com o enunciado. A área da esfera
é menor que a área total do cilindro, como esperado.