Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a hipérbole definida por
encontrar seus vértices, focos e assíntotas, e esboçar o gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular hipérboles com centro na origem e vértices no eixo
.
Passo 2
Para colocar em forma padrão, dividimos ambos os lados de
por
, obtendo
Dessa forma, reconhecemos que
Passo 3
Calculamos
e
:
Como a hipérbole está na forma
, seus vértices ficam em
Passo 4
Os focos satisfazem
. Logo,
Assim, os focos estão em
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são
Aqui
, portanto as assíntotas são
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Trace os eixos
e . - Desenhe as retas
e como guias (assíntotas). - Marque os vértices em
e . - Desenhe as duas ramas da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das retas
.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: