Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
x^{2}-y^{2}=100

Passo 1

O enunciado pede para a hipérbole definida por
x^{2} - y^{2} = 100
encontrar seus vértices, focos e assíntotas, e esboçar o gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular hipérboles com centro na origem e vértices no eixo x.

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos ambos os lados de x^{2}-y^{2}=100 por 100, obtendo
\frac{x^{2}}{100} \;-\;\frac{y^{2}}{100} \;=\;1.
Dessa forma, reconhecemos que
a^{2}=100,\quad b^{2}=100.

Passo 3

Calculamos a e b:
a = \sqrt{100}=10,\quad b=\sqrt{100}=10.
Como a hipérbole está na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, seus vértices ficam em
(\pm a,\,0) \;=\;(\pm10,\,0).

Passo 4

Os focos satisfazem c^{2}=a^{2}+b^{2}. Logo,
c^{2}=100+100=200,\quad c=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.
Assim, os focos estão em
(\pm c,\,0) \;=\;\bigl(\pm10\sqrt{2},\,0\bigr).

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 são
y = \pm \frac{b}{a}\,x.
Aqui b/a=10/10=1, portanto as assíntotas são
y = x \quad\text{e}\quad y = -x.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Trace os eixos x e y.
  • Desenhe as retas y=x e y=-x como guias (assíntotas).
  • Marque os vértices em (10,0) e (-10,0).
  • Desenhe as duas ramas da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das retas y=\pm x.

Resposta

Vértices: (10,0) e (-10,0)
Focos: \bigl(10\sqrt{2},0\bigr) e \bigl(-10\sqrt{2},0\bigr)
Assíntotas: y = x e y = -x

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