Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular de 7 cm de apótema, sendo 2 cm o raio do círculo circunscrito à base.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide triangular regular com apótema lateral g = 7 cm e raio do círculo circunscrito à base R = 2 cm. Precisamos calcular a área lateral AL e a área total AT. Para isso usaremos:
– a relação do raio circunscrito de um triângulo equilátero,
– a fórmula da área lateral de pirâmide regular AL=tfrac12,Pb,g,
– a fórmula da área de um triângulo equilátero Ab=tfraca^2raiz34.

Passo 2

Em um triângulo equilátero de lado a, o raio do círculo circunscrito satisfaz
R = araiz3
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a = Rraiz3 = 2raiz3 cm

Passo 3

O perímetro da base, que é um triângulo de lado a, é
Pb = 3a = 3cdot(2raiz3) = 6raiz3 cm

Passo 4

A área lateral da pirâmide regular é
AL = 12,Pb,g
AL = 12 cdot 6raiz3 cdot 7 = 21raiz3,
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AL = 21raiz3,cm^2

Passo 5

A área da base, que é um triângulo equilátero de lado a, é
Ab = a^2raiz34
Ab = (2raiz3)^2raiz34 = 3raiz3,
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Ab = 3raiz3,cm^2

Passo 6

A área total da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base:
AT = AL + Ab = 21raiz3 + 3raiz3 = 24raiz3,
portanto
AT = 24raiz3,cm^2

Resposta

Área lateral: 21raiz3,cm^2
Área total: 24raiz3,cm^2

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