Mostre que a secção feita em um paralelepípedo, por um plano que intercepta 4 arestas paralela, é um paralelogramo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num paralelepípedo qualquer, se um plano corta quatro arestas que são paralelas entre si, a curva de interseção é sempre um paralelogramo. O que vamos usar é modelar o paralelepípedo por três vetores geradores e parametrizar as arestas cortadas para depois comparar os vetores dos lados desse quadrilátero de interseção.
Passo 2
Escolhemos um vértice do paralelepípedo como origem do espaço, e tomamos como vetores geradores das arestas que saem de os vetores , e , os quais são dois a dois linearmente independentes. Assim os vértices adjacentes a são
e os demais são combinações lineares desses três vetores.
Passo 3
Suponha que as quatro arestas interceptadas sejam exatamente aquelas paralelas a . Então cada aresta pode ser escrita como
Chamemos de os pontos de interseção do plano com essas quatro arestas e sejam seus parâmetros
Passo 4
Escrevemos a equação genérica do plano na forma
onde é um vetor normal qualquer e uma constante. Como pertence ao plano,
Mas é a origem, então , e portanto
Análogas contas em dão
Passo 5
Agora examinamos os vetores dos lados do quadrilátero . Por exemplo,
Isso mostra que PQ e SR têm mesma direção e mesmo módulo (só diferem pelo sentido), ou seja, PQparal<=l SR e PQ=SR. Uma análise análoga em QR e PS dá que os outros dois lados também são opostos e iguais.
Passo 6
Como num quadrilátero ambos os pares de lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, concluímos que a seção PQRS é um paralelogramo.
Resposta
A seção de um paralelepípedo por um plano que intercepta quatro arestas paralelas é sempre um paralelogramo.