Mostre que a secção feita em um paralelepípedo, por um plano que intercepta 4 arestas paralela, é um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num paralelepípedo qualquer, se um plano corta quatro arestas que são paralelas entre si, a curva de interseção é sempre um paralelogramo. O que vamos usar é modelar o paralelepípedo por três vetores geradores e parametrizar as arestas cortadas para depois comparar os vetores dos lados desse quadrilátero de interseção.

Passo 2

Escolhemos um vértice A do paralelepípedo como origem do espaço, e tomamos como vetores geradores das arestas que saem de A os vetores u, v e w, os quais são dois a dois linearmente independentes. Assim os vértices adjacentes a A são
B = A + u, D = A + v, E = A + w,
e os demais são combinações lineares desses três vetores.

Passo 3

Suponha que as quatro arestas interceptadas sejam exatamente aquelas paralelas a u. Então cada aresta pode ser escrita como
aresta 1: A + t,u, aresta 2: (A+v) + t,u, aresta 3: (A+w) + t,u, aresta 4: (A+v+w) + t,u
Chamemos de P,Q,R,S os pontos de interseção do plano com essas quatro arestas e sejam seus parâmetros
P = A + t1u, Q = A+v+t2u, R = A+w+t3u, S = A+v+w+t4u

Passo 4

Escrevemos a equação genérica do plano na forma
lang<= n,xrang<= = d,
onde n é um vetor normal qualquer e d uma constante. Como P pertence ao plano,
lang<= n,A + t1urang<= = d Longrightarrow lang<= n,Arang<= + t1,lang<= n,urang<= = d
Mas A é a origem, então lang<= n,Arang<==0, e portanto
t1 = dlang<= n,urang<=
Análogas contas em Q,R,S dão
lang<= n,vrang<= + t2lang<= n,urang<= = d Longrightarrow t2 = d - lang<= n,vrang<=lang<= n,urang<=,
t3 = d - lang<= n,wrang<=lang<= n,urang<=, t4 = d - lang<= n,v+wrang<=lang<= n,urang<=

Passo 5

Agora examinamos os vetores dos lados do quadrilátero PQRS. Por exemplo,
PQ = Q - P = (v+t2u) - (t1u) = v + (t2 - t1),u
Como
t2 - t1 = d - lang<= n,vrang<=lang<= n,urang<= - dlang<= n,urang<= = -,lang<= n,vrang<=lang<= n,urang<=,
segue
PQ = v - lang<= n,vrang<=lang<= n,urang<=,u
Do mesmo modo, para o lado oposto,
SR = R - S = l(w+t3ur) - l(v+w+t4ur) = -,v + (t3 - t4),u
E nota-se que
t3 - t4 = d - lang<= n,wrang<=lang<= n,urang<= - d - lang<= n,v+wrang<=lang<= n,urang<= = lang<= n,vrang<=lang<= n,urang<=,
de modo que
SR = -,v + lang<= n,vrang<=lang<= n,urang<=,u = -l(v - tfraclang<= n,vrang<=lang<= n,urang<=,ur) = -,PQ
Isso mostra que PQ e SR têm mesma direção e mesmo módulo (só diferem pelo sentido), ou seja, PQparal<=l SR e PQ=SR. Uma análise análoga em QR e PS dá que os outros dois lados também são opostos e iguais.

Passo 6

Como num quadrilátero ambos os pares de lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, concluímos que a seção PQRS é um paralelogramo.

Resposta

A seção de um paralelepípedo por um plano que intercepta quatro arestas paralelas é sempre um paralelogramo.

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