O volume de um paralelepípedo retângulo é 270 dm^3. Uma de suas arestas mede 5 dm e a razão entre as outras duas é 2 / 3. Determine a área total desse paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado nos dá o volume de um paralelepípedo retângulo igual a 270dm^3, sendo que uma de suas arestas mede 5dm e a razão entre as outras duas arestas é tfrac23. Vamos usar a fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo e a fórmula da área total para determinar a resposta.

Passo 2

Denotemos por a, b e c as três arestas do paralelepípedo, com
a = 5dm,
e
bc = 23
Da razão segue
c = 32,b

Passo 3

A fórmula do volume é
V = a , b , c
Substituindo a=5 e c=tfrac32b em V=270 obtemos
270 = 5 times b times 32,b Longrightarrow 270 = 152,b^2 Longrightarrow b^2 = 270 times 215 = 36 Longrightarrow b = 6dm

Passo 4

Usando b=6dm na expressão de c, temos
c = 32times 6 = 9dm
Portanto, as arestas medem 5, 6 e 9 decímetros.

Passo 5

A área total Atot de um paralelepípedo retângulo de arestas a, b e c é
Atot = 2l(ab + ac + bcr)
Substituindo a=5, b=6 e c=9, vem
ab = 5cdot6 = 30, ac = 5cdot9 = 45, bc = 6cdot9 = 54,
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Atot = 2,(30 + 45 + 54) = 2 times 129 = 258dm^2

Resposta

A área total do paralelepípedo é 258dm^2.

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