Determine os valores de a e b de modo que a função f(x)=a x^2+6 b x+10 x^3 tenha um mínimo local em (3,1). Nesse caso, o valor de a será
a. -5398
Ob.
-5418c. -5419
d.
-1673
e. -5399

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores de a e b na função f(x) = a x^2 + 6b x + 10x^3 de jeito que essa função tenha um mínimo local no ponto (3, 1) . Isso envolve cálculo de derivadas para encontrar extremos e resolver algumas equações. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda, além de resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o ponto (3, 1) está realmente na função. Isso significa que quando x = 3 , f(x) deve ser igual a 1. Então, substituímos na função:
f(3) = a(3)^2 + 6b(3) + 10(3)^3 = 1
Simplificando:
9a + 18b + 270 = 1
9a + 18b = -269 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, para ter um mínimo local em x = 3 , a primeira derivada f'(x) deve ser zero nesse ponto. Vamos calcular f'(x) :
f'(x) = ddx(a x^2 + 6b x + 10x^3) = 2a x + 6b + 30x^2
Substituindo x = 3 :
f'(3) = 2a(3) + 6b + 30(3)^2 = 0
6a + 6b + 270 = 0
6a + 6b = -270 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. 9a + 18b = -269
  2. 6a + 6b = -270
Vamos simplificar a Equação 2 dividindo por 6:
a + b = -45 (Equação 2 simplificada) çã
Agora, da Equação 1, podemos dividir tudo por 9:
a + 2b = -2699 (Equação 1 simplificada) çã
Subtraindo a Equação 2 simplificada da Equação 1 simplificada:
(a + 2b) - (a + b) = -2699 + 45
b = 1369

Passo 5

Com b = 1369 , substituímos na Equação 2 simplificada para encontrar a :
a + 1369 = -45
a = -45 - 1369 = -4059 - 1369 = -5419

Resposta

O valor de a será -5419 .

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