Determine:
a. A área de uma pétala da rosácea r=3 sen 4 theta

Passo 1

O enunciado pede a área de uma pétala da curva em coordenadas polares dada por r=3sin4theta. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula
A=12integral r^2,dtheta
além de identificar corretamente o intervalo de theta que gera uma única pétala.

Passo 2

Para achar o intervalo de uma pétala, note que as pétalas ocorrem quando r>=0, ou seja, quando sin4theta>=0. As raízes são em 4theta=kpi, logo os zeros estão em theta=0 e theta=pi4 para a primeira pétala. Portanto, vamos integrar de 0 a pi4.

Passo 3

Substituindo na fórmula da área, temos
A=12integral0^pi/4l(3sin4thetar)^2,dtheta =92integral0^pi/4sin^2(4theta),dtheta
Para resolver, usamos a identidade sin^2x=tfrac12l(1-cos2xr).

Passo 4

Aplicando a identidade, a área vira
A=92integral0^pi/41-cos8theta2,dtheta =94integral0^pi/4l(1-cos8thetar),dtheta
Agora integramos:
integral0^pi/41,dtheta=pi4, integral0^pi/4cos8theta,dtheta=sin8theta8|0^pi/4=0
Logo,
A=94cdotpi4=9pi16

Passo 5

Chegamos ao valor da área de uma pétala da rosácea.

Resposta

tfrac9pi16

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