Resolva as equação lineares de ordem n.
a) y^prime prime prime+2 y^prime prime=0

Passo 1

O exercício pede pra resolver a equação diferencial linear homogênea de 3ª ordem com coeficientes constantes: y''' + 2y'' = 0. O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de coeficientes constantes e a gente vai usar o método da equação característica.

Passo 2

Pra começar a resolver, substituímos y = e^rx na ODE e montamos a equação característica:

Passo 3

r^3 + 2r^2 = 0

Passo 4

Agora a gente resolve essa equação. Fatorando, vem r^2(r + 2) = 0, então as raízes são r = 0 com multiplicidade 2 e r = -2 com multiplicidade 1.

Passo 5

Quando a raiz r = 0 tem multiplicidade 2, as soluções independentes são y1(x) = e^0x = 1 e y2(x) = x e^0x = x. Para a raiz simples r = -2, a solução é y3(x) = e^-2x.

Passo 6

Por fim, como 1, x e e^-2x são independentes, a solução geral é dada por uma combinação linear dessas três funções.

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-2x

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