Questão 1) (Vale 1,5)
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade
. Isso envolve trabalhar com valores absolutos e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com os valores absolutos, ou seja, considerar casos onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número, como
, representa a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo positivo. Então, quando temos expressões como
e
, precisamos considerar quando o que está dentro do valor absoluto é positivo ou negativo para eliminar os valores absolutos.
Passo 3
Vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. No nosso caso:
-
quando -
quando
Isso divide a reta numérica em três intervalos:
Vamos resolver a desigualdade em cada um desses intervalos separadamente.
Passo 4
Intervalo 1:
Aqui,
é negativo, então
, e
também é negativo, então
.
Substituindo na desigualdade:
Agora, vamos isolar
:
Dividindo por -4 (lembre que ao dividir ou multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
No entanto, nesse intervalo estamos considerando
. A solução
não faz sentido aqui, pois
é maior que 0. Então, não há solução nesse intervalo.
Passo 5
Intervalo 2:
Aqui,
é positivo ou zero, então
, e
é negativo, então
.
Substituindo na desigualdade:
Isolando
:
Dividindo por -2 e invertendo a desigualdade:
Neste intervalo, estamos considerando
. A solução
não está dentro desse intervalo, então também não há solução aqui.
Passo 6
Intervalo 3:
Aqui, tanto
quanto
são positivos ou zero, então
e
.
Substituindo na desigualdade:
Isolando
:
Mas estamos considerando
. A solução
não está dentro desse intervalo, então novamente, não há solução aqui.
Resposta
Não existem números reais que satisfaçam a desigualdade
.