Questão 1) (Vale 1,5)
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
3|x-1|+|x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade 3|x-1| + |x| < 1. Isso envolve trabalhar com valores absolutos e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com os valores absolutos, ou seja, considerar casos onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número, como |x|, representa a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo positivo. Então, quando temos expressões como |x-1| e |x|, precisamos considerar quando o que está dentro do valor absoluto é positivo ou negativo para eliminar os valores absolutos.

Passo 3

Vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. No nosso caso:
  1. x - 1 = 0 quando x = 1
  2. x = 0 quando x = 0
Isso divide a reta numérica em três intervalos:
  • x < 0
  • 0 <= x < 1
  • x >= 1
Vamos resolver a desigualdade em cada um desses intervalos separadamente.

Passo 4

Intervalo 1: x < 0
Aqui, x é negativo, então |x| = -x, e x - 1 também é negativo, então |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1.
Substituindo na desigualdade:
3(-x + 1) + (-x) < 1
-3x + 3 - x < 1
-4x + 3 < 1
Agora, vamos isolar x:
-4x < 1 - 3
-4x < -2
Dividindo por -4 (lembre que ao dividir ou multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
x > -2-4
x > 12
No entanto, nesse intervalo estamos considerando x < 0. A solução x > 12 não faz sentido aqui, pois 12 é maior que 0. Então, não há solução nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 2: 0 <= x < 1
Aqui, x é positivo ou zero, então |x| = x, e x - 1 é negativo, então |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1.
Substituindo na desigualdade:
3(-x + 1) + x < 1
-3x + 3 + x < 1
-2x + 3 < 1
Isolando x:
-2x < 1 - 3
-2x < -2
Dividindo por -2 e invertendo a desigualdade:
x > -2-2
x > 1
Neste intervalo, estamos considerando 0 <= x < 1. A solução x > 1 não está dentro desse intervalo, então também não há solução aqui.

Passo 6

Intervalo 3: x >= 1
Aqui, tanto x quanto x - 1 são positivos ou zero, então |x| = x e |x - 1| = x - 1.
Substituindo na desigualdade:
3(x - 1) + x < 1
3x - 3 + x < 1
4x - 3 < 1
Isolando x:
4x < 1 + 3
4x < 4
x < 1
Mas estamos considerando x >= 1. A solução x < 1 não está dentro desse intervalo, então novamente, não há solução aqui.

Resposta

Não existem números reais que satisfaçam a desigualdade 3|x-1| + |x| < 1.

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