Determine a área da porção da superfície de equações paramétricas r(u, v)=(2 u, u v, 1-2 v) que está dentro do cilindro u^2+v^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de uma parte de uma superfície que é definida por equações paramétricas: r(u, v) = (2u, uv, 1 - 2v) . Essa área que queremos achar está dentro de um cilindro dado pela equação u^2 + v^2 = 4 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies paramétricas, que envolvem derivadas parciais e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função r(u, v) em relação a u e v . Isso vai nos ajudar a determinar o vetor normal à superfície, que é essencial para calcular a área.
Vamos derivar r(u, v) = (2u, uv, 1 - 2v) :
ru = partial rpartial u = ( partialpartial u(2u), partialpartial u(uv), partialpartial u(1 - 2v) ) = (2, v, 0)
rv = partial rpartial v = ( partialpartial v(2u), partialpartial v(uv), partialpartial v(1 - 2v) ) = (0, u, -2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv . Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, e o seu módulo será usado para encontrar a área.
ru times rv = i & j & k 2 & v & 0 0 & u & -2 = i(v cdot (-2) - 0 cdot u) - j(2 cdot (-2) - 0 cdot 0) + k(2 cdot u - v cdot 0)
= i(-2v) - j(-4) + k(2u)
= (-2v, 4, 2u)

Passo 4

Vamos calcular o módulo desse vetor para usar na integral da área:
|ru times rv| = raiz(-2v)^2 + 4^2 + (2u)^2 = raiz4v^2 + 16 + 4u^2 = raiz4(u^2 + v^2) + 16
Podemos simplificar isso fatorando o 4:
|ru times rv| = raiz4(u^2 + v^2 + 4) = 2raizu^2 + v^2 + 4

Passo 5

Agora, vamos definir a região de integração. O cilindro u^2 + v^2 = 4 representa um círculo com raio 2 no plano uv . Então, nossa área será calculada dentro desse círculo.
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde u = r costheta e v = r sintheta , com r indo de 0 a 2 e theta de 0 a 2pi .

Passo 6

Em coordenadas polares, a expressão u^2 + v^2 se torna r^2 . Então, nossa função sob a raiz fica:
raizr^2 + 4
E o elemento de área du, dv em coordenadas polares é r, dr, dtheta .

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla para a área:
Área = integral0^2pi integral0^2 2raizr^2 + 4 cdot r, dr, dtheta Á
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a r :
integral0^2 2r raizr^2 + 4, dr
Podemos fazer uma substituição t = r^2 + 4 , então dt = 2r, dr . Quando r = 0 , t = 4 , e quando r = 2 , t = 8 :
integral4^8 raizt, dt = integral4^8 t^1/2, dt = 23 t^3/2 |4^8 = 23 (8^3/2 - 4^3/2) = 23 (22.627 - 8) = 23 times 14.627 approx 9.75
Agora, integramos em relação a theta :
Área = integral0^2pi 9.75, dtheta = 9.75 times 2pi approx 61.26 Á

Resposta

A área da porção da superfície dentro do cilindro é aproximadamente 61,26 unidades de área.

Exercícios relacionados