Determine a área da porção da superfície de equações paramétricas que está dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de uma parte de uma superfície que é definida por equações paramétricas: . Essa área que queremos achar está dentro de um cilindro dado pela equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies paramétricas, que envolvem derivadas parciais e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso vai nos ajudar a determinar o vetor normal à superfície, que é essencial para calcular a área.
Vamos derivar :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, e o seu módulo será usado para encontrar a área.
= i(-2v) - j(-4) + k(2u)
= (-2v, 4, 2u)
Passo 4
Vamos calcular o módulo desse vetor para usar na integral da área:
Agora, vamos definir a região de integração. O cilindro u^2 + v^2 = 4 representa um círculo com raio 2 no plano uv . Então, nossa área será calculada dentro desse círculo.
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde u = r costheta e v = r sintheta , com r indo de 0 a 2 e theta de 0 a 2pi .
Passo 6
Em coordenadas polares, a expressão u^2 + v^2 se torna r^2 . Então, nossa função sob a raiz fica:
raizr^2 + 4
E o elemento de área du, dv em coordenadas polares é r, dr, dtheta .
Passo 7
Agora, montamos a integral dupla para a área:
Área = integral0^2pi integral0^2 2raizr^2 + 4 cdot r, dr, dtheta Á
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a r :
integral0^2 2r raizr^2 + 4, dr
Podemos fazer uma substituição t = r^2 + 4 , então dt = 2r, dr . Quando r = 0 , t = 4 , e quando r = 2 , t = 8 :