Determine a área da superfície:
A parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a área da superfície da parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro quadrante. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo de áreas em superfícies planas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a área de uma parte limitada de um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que significa estar no primeiro quadrante. No espaço 3D, o primeiro quadrante é onde x, y e z são todos maiores ou iguais a zero. Então, precisamos encontrar as interseções do plano 3x + 2y + z = 6 com os eixos x, y e z.

Passo 3

Para encontrar onde o plano intercepta o eixo x, fazemos y = 0 e z = 0:
3x + 2(0) + 0 = 6 Rightarrow 3x = 6 Rightarrow x = 2
Então, a interseção com o eixo x é no ponto (2, 0, 0).

Passo 4

Agora, para o eixo y, fazemos x = 0 e z = 0:
3(0) + 2y + 0 = 6 Rightarrow 2y = 6 Rightarrow y = 3
A interseção com o eixo y é no ponto (0, 3, 0).

Passo 5

Finalmente, para o eixo z, fazemos x = 0 e y = 0:
3(0) + 2(0) + z = 6 Rightarrow z = 6
A interseção com o eixo z é no ponto (0, 0, 6).

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção: (2, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 6), podemos visualizar a parte do plano no primeiro quadrante como um triângulo no espaço.

Passo 7

Para encontrar a área desse triângulo no espaço, podemos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos no espaço:
Área = 12 | AB times AC | Á
Onde AB e AC são vetores formados pelos pontos A, B e C, e times representa o produto vetorial.

Passo 8

Vamos definir os pontos:
A = (2, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 6)
Então, os vetores são:
AB = B - A = (-2, 3, 0)
AC = C - A = (-2, 0, 6)

Passo 9

Calculando o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k -2 & 3 & 0 -2 & 0 & 6 = i(3 cdot 6 - 0 cdot 0) - j(-2 cdot 6 - (-2) cdot 0) + k(-2 cdot 0 - 3 cdot (-2))
= i(18) - j(-12) + k(6)
= (18, 12, 6)

Passo 10

Agora, calculamos o módulo desse vetor:
| AB times AC | = raiz18^2 + 12^2 + 6^2 = raiz324 + 144 + 36 = raiz504 = raiz36 times 14 = 6raiz14

Passo 11

Finalmente, a área do triângulo é:
Área = 12 times 6raiz14 = 3raiz14 Á

Resposta

A área da superfície da parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro quadrante é 3raiz14 unidades de área.

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