Determine a área da superfície:
A parte do plano que está no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a área da superfície da parte do plano que está no primeiro quadrante. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo de áreas em superfícies planas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a área de uma parte limitada de um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que significa estar no primeiro quadrante. No espaço 3D, o primeiro quadrante é onde , e são todos maiores ou iguais a zero. Então, precisamos encontrar as interseções do plano com os eixos , e .
Passo 3
Para encontrar onde o plano intercepta o eixo , fazemos e :
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Passo 4
Agora, para o eixo , fazemos e :
A interseção com o eixo é no ponto .
Passo 5
Finalmente, para o eixo , fazemos e :
A interseção com o eixo é no ponto .
Passo 6
Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos visualizar a parte do plano no primeiro quadrante como um triângulo no espaço.
Passo 7
Para encontrar a área desse triângulo no espaço, podemos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos no espaço:
Onde e são vetores formados pelos pontos , e , e representa o produto vetorial.
Passo 8
Vamos definir os pontos:
Então, os vetores são:
Passo 9
Calculando o produto vetorial :
= i(18) - j(-12) + k(6)
= (18, 12, 6)
Passo 10
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
| AB times AC | = raiz18^2 + 12^2 + 6^2 = raiz324 + 144 + 36 = raiz504 = raiz36 times 14 = 6raiz14
Passo 11
Finalmente, a área do triângulo é:
Área = 12 times 6raiz14 = 3raiz14 Á
Resposta
A área da superfície da parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro quadrante é 3raiz14 unidades de área.