Determine a área de um quadrado cuja diagonal mede 4 \sqrt{2} \mathrm{~m}.
\begin{aligned} & A_{\square}=l^{2} \\\ & A_{\square}=4^{2} \Rightarrow 16 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área de um quadrado sabendo que a diagonal mede 4\sqrt{2} metros.
Informações dadas:
  • diagonal: d = 4\sqrt{2}\,\mathrm{m}.
    Pergunta: calcular a área do quadrado A_{\square} em \mathrm{m}^2.

Passo 2

Vamos relacionar a diagonal d com o lado l do quadrado. Desenhe mentalmente um quadrado: a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles com catetos iguais a l e hipotenusa igual a d. Aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal:
d^{2}=l^{2}+l^{2}

Passo 3

Simplificando a igualdade do passo anterior obtemos:
d^{2}=2\,l^{2}
Isolando l^{2} (que é precisamente a área do quadrado, já que A_{\square}=l^{2}):
l^{2}=\frac{d^{2}}{2}
ou, se quisermos o lado l:
l=\frac{d}{\sqrt{2}}
Observação: usamos raiz positiva porque l é uma medida de comprimento.

Passo 4

Substituímos a diagonal dada d=4\sqrt{2} na fórmula. Primeiro calculando d^{2}:
d^{2}=(4\sqrt{2})^{2}=4^{2}\cdot(\sqrt{2})^{2}=16\cdot 2=32.
Agora:
l^{2}=\frac{d^{2}}{2}=\frac{32}{2}=16.
Portanto o lado é l=\sqrt{16}=4 metros (confere com l=\dfrac{d}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4).

Passo 5

Calculemos a área do quadrado usando A_{\square}=l^{2}. Como l^{2}=16, temos
A_{\square}=16\\ \mathrm{m}^{2}.
Alternativa direta (fórmula útil para prova): como l^{2}=\dfrac{d^{2}}{2}, pode-se usar A_{\square}=\dfrac{d^{2}}{2}. Com d^{2}=32 A_{\square}=32/2=16\\ \mathrm{m}^{2}.

Resposta

16\\ \mathrm{m}^{2}

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