Determine a área do quadrilátero caracterizado pelas raízes da equação x^{4}-x^{2}-2=0 . R: 2 \sqrt{2} u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área do quadrilátero cujos vértices são as raízes da equação
x^{4}-x^{2}-2=0
no plano complexo. Vamos precisar de duas etapas: (1) encontrar as raízes e interpretá-las como pontos no plano \mathbb{R}^2, e (2) usar a fórmula de área de um polígono (método de Gauss ou “shoelace”) para quadriláteros.

Passo 2

Para achar as raízes, faça a substituição y=x^2. A equação torna-se
y^2 - y - 2 = 0.
Resolvendo em y:
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
logo y=2 ou y=-1. Voltando a x:
x^2=2\implies x=\pm\sqrt{2},
x^2=-1\implies x=\pm i.

Passo 3

As quatro raízes no plano complexo correspondem aos pontos em \mathbb{R}^2:
(\sqrt{2},0),\quad(-\sqrt{2},0),\quad(0,1),\quad(0,-1).
Esses quatro pontos formam um quadrilátero convexo (um “kite”) simétrico em relação aos eixos.

Passo 4

Para aplicar a fórmula de shoelace, ordenamos as vértices no sentido anti-horário, por exemplo:
A=(\sqrt{2},0),\; B=(0,1),\; C=(-\sqrt{2},0),\; D=(0,-1).
A fórmula de Gauss para área de polígono com vértices (x_i,y_i), i=1,\dots,4, fechando em i=5\equiv1, é
\text{Área} = \tfrac12\Bigl|\sum_{i=1}^{4} x_i\,y_{i+1} \;-\; \sum_{i=1}^{4} y_i\,x_{i+1}\Bigr|.Á

Passo 5

Calcule
\sum x_i\,y_{i+1} = (\sqrt{2}\cdot1) + (0\cdot0) + (-\sqrt{2}\cdot(-1)) + (0\cdot0) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2},
\sum y_i\,x_{i+1} = (0\cdot0) + (1\cdot(-\sqrt{2})) + (0\cdot0) + (-1\cdot\sqrt{2}) = -\sqrt{2} -\sqrt{2} = -2\sqrt{2}.
Então
\text{Área} = \tfrac12\bigl|\,2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})\bigr| = \tfrac12\cdot4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.Á

Resposta

A área do quadrilátero é 2\sqrt{2} unidades de área.

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