O sistema y(t)=\int_{0}^{t} 5 u(t) d t+2 \frac{d}{d t} u(t) é linear?
20. O sistema y(t)=u(t) é linear?

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas de tempo contínuo que relacionam a saída y(t) à entrada u(t):
  1. \displaystyle y(t)=\int_{0}^{t}5\,u(\tau)\,d\tau \;+\;2\,\frac{d}{dt}u(t).
  2. \displaystyle y(t)=u(t).
    O objetivo é verificar se cada sistema satisfaz o princípio da superposição (adição e homogeneidade), que caracteriza a linearidade.

Passo 2

Um sistema S é linear se, dados quaisquer sinais u_1(t), u_2(t) e escalares a,b, valer
S\bigl[a\,u_1 + b\,u_2\bigr](t) = a\,S[u_1](t) \;+\; b\,S[u_2](t).
Vamos aplicar esse teste a cada sistema.

Passo 3

Para o sistema \displaystyle S[u](t)=5\int_{0}^{t}u(\tau)\,d\tau +2\,\frac{d}{dt}u(t), seja
v(t)=a\,u_1(t)+b\,u_2(t).
Então
S[v](t) =5\int_{0}^{t}\bigl(a\,u_1(\tau)+b\,u_2(\tau)\bigr)\,d\tau +2\,\frac{d}{dt}\bigl(a\,u_1(t)+b\,u_2(t)\bigr).
Pela linearidade da integral e da derivada:
S[v](t) =a\Bigl(5\int_{0}^{t}u_1(\tau)\,d\tau +2\,u_1'(t)\Bigr) +b\Bigl(5\int_{0}^{t}u_2(\tau)\,d\tau +2\,u_2'(t)\Bigr) =a\,S[u_1](t)+b\,S[u_2](t).
Logo, o sistema é linear.

Passo 4

Para o sistema de identidade \displaystyle S[u](t)=u(t), seja novamente v(t)=a\,u_1(t)+b\,u_2(t). Então
S[v](t)=v(t)=a\,u_1(t)+b\,u_2(t) =a\,S[u_1](t)+b\,S[u_2](t).
Isso também satisfaz superposição, mostrando que o sistema é linear.

Resposta

O primeiro sistema é linear.
O segundo sistema é linear.

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