Seja h(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{(x-1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}} & \text { se } & (x, y) \neq(1,1), \\\ k, & \text { se } & (x, y)=(1,1)\end{array}\right.. Para qual valor de k, a função h é contínua?

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle h(x,y)=\begin{cases}\dfrac{(x-1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}},& (x,y)\neq(1,1),\\[6pt]k,&(x,y)=(1,1),\end{cases}
e pede o valor de k para que h seja contínua em (1,1).
Para isso, precisamos calcular
\displaystyle L=\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{(x-1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}
e exigir L=k.]

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
\displaystyle u=x-1,\quad v=y-1,
assim (x,y)\to(1,1) equivale a (u,v)\to(0,0), e a parte variável vira
\displaystyle \frac{(x-1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}.

Passo 3

Vamos estimar em valor absoluto usando a desigualdade 2|uv|\le u^2+v^2:
\left|\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}\right| =\frac{|uv|}{\sqrt{u^2+v^2}} \le\frac{\tfrac12\,(u^2+v^2)}{\sqrt{u^2+v^2}} =\frac{\sqrt{u^2+v^2}}{2}.

Passo 4

Como \sqrt{u^2+v^2}\to0 quando (u,v)\to(0,0), a estimativa acima mostra pelo Teorema do Confronto (squeeze) que
\displaystyle \lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}=0.
Logo
\displaystyle L=0.

Passo 5

Para h ser contínua em (1,1), precisa valer k=L. Portanto
k=0.

Resposta

k=0

Exercícios relacionados