Os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são os afixos dos números complexos Z_{1}=(1-i)^{2}, \quad Z_{2}=\frac{1}{(1-i)} e Z_{3}=(1+i) \cdot(1-i), respectivamente. Determine á área do triangulo ABC é igual a? R : 2 u.a.

Passo 1

O enunciado dá três números complexos cuja representação no plano complexo define os vértices A, B e C de um triângulo. O conteúdo é geometria analítica no plano complexo:
– Primeiro vamos calcular os afixos Z_{1}, Z_{2} e Z_{3}.
– Depois extraímos as coordenadas de A, B e C.
– Por fim usamos a fórmula da área de triângulo em coordenadas (determinante de vetores) para obter o resultado.

Passo 2

Calcular os afixos:
Z_{1} = (1 - i)^{2} = 1 - 2i + i^{2} = 1 - 2i - 1 = -2i,
Z_{2} = \frac{1}{1 - i} = \frac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i}{2} = \tfrac12 + \tfrac12\,i,
Z_{3} = (1 + i)(1 - i) = 1 - i^{2} = 1 + 1 = 2.

Passo 3

Extrair as coordenadas no plano (x,y):
A = (0,-2),\quad B = \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr),\quad C = (2,0).

Passo 4

Formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = \bigl(\tfrac12 - 0,\;\tfrac12 - (-2)\bigr) = \bigl(\tfrac12,\,\tfrac52\bigr),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 0,\;0 - (-2)) = (2,2).

Passo 5

A área do triângulo é
\text{Área} = \frac12 \bigl|\det\bigl[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\bigr]\bigr| = \frac12 \bigl|\tfrac12\cdot2 - \tfrac52\cdot2\bigr| = \frac12\,\bigl|1 - 5\bigr| = \frac12\cdot4 = 2.Á

Resposta

A área do triângulo ABC é 2 unidades de área.

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