Um hexágono regular, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o afixo de Z_{1}=2 \mathbf{i}. Que números complexos são representados pelos outros cinco vértices e qual á área desse hexágono? R: (-2 \mathrm{i}) ;(-\sqrt{3}+\mathrm{i}) ;(-\sqrt{3}-\mathrm{i}) ;(\sqrt{3}+\mathrm{i}) ;(\sqrt{3}-\mathrm{i}) e 72 u.a.

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular inscrito numa circunferência de centro na origem, com um vértice em Z_{1}=2i. Como ele é regular, o raio da circunferência vale
R = \bigl|Z_{1}\bigr| = \bigl|2i\bigr| = 2.
Precisamos então (a) encontrar os outros cinco vértices no plano complexo e (b) calcular a área do hexágono.

Passo 2

Em geral, os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R e com o primeiro vértice em argumento \theta_{0} são
Z_{k} \;=\; R\,e^{\,i\bigl(\theta_{0} + (k-1)\tfrac{2\pi}{n}\bigr)},
para k=1,2,\dots,n. Aqui n=6 e Z_{1}=2i tem argumento \theta_{0}=\tfrac{\pi}{2}. Logo
Z_{k} = 2 \,e^{\,i\bigl(\tfrac{\pi}{2} + (k-1)\tfrac{\pi}{3}\bigr)}, \quad k=1,\dots,6.

Passo 3

Aplicando para k=2,3,4,5,6 temos:
Z_{2} = 2e^{\,i(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{3})} = 2e^{\,i\tfrac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} + i,
Z_{3} = 2e^{\,i(\tfrac{\pi}{2}+2\tfrac{\pi}{3})} = 2e^{\,i\tfrac{7\pi}{6}} = -\sqrt{3} - i,
Z_{4} = 2e^{\,i(\tfrac{\pi}{2}+3\tfrac{\pi}{3})} = 2e^{\,i\tfrac{3\pi}{2}} = -2i,
Z_{5} = 2e^{\,i(\tfrac{\pi}{2}+4\tfrac{\pi}{3})} = 2e^{\,i\tfrac{11\pi}{6}} = \sqrt{3} - i,
Z_{6} = 2e^{\,i(\tfrac{\pi}{2}+5\tfrac{\pi}{3})} = 2e^{\,i\tfrac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + i.
Portanto, excluindo Z_{1}=2i, os cinco vértices restantes são
-2i, -\sqrt{3}+i, -\sqrt{3}-i, \sqrt{3}+i e \sqrt{3}-i.

Passo 4

Para a área do hexágono regular de raio (e lado) R=2 usamos a fórmula
A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,R^{2}.
Substituindo R=2 vem
A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 4 = 6\sqrt{3}.

Resposta

Os cinco vértices além de 2i são
-2i, -\sqrt{3}+i, -\sqrt{3}-i, \sqrt{3}+i e \sqrt{3}-i,
e a área do hexágono é 6\sqrt{3} unidades de área.

Exercícios relacionados