Determine a área da região
R=(x, y) in R^2 lvert, 0 <= y <= 1raizx+2 e -2<x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre como encontrar a área de uma região no plano cartesiano. A região R é definida por duas condições:
  1. 0 <= y <= 1raizx+2
  2. -2 < x <= 0
Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que são ferramentas poderosas para calcular áreas de regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. A condição -2 < x <= 0 nos diz que x varia de -2 até 0. Já a condição 0 <= y <= 1raizx+2 nos mostra que, para cada valor de x nesse intervalo, y varia de 0 até 1raizx+2 .

Passo 3

Agora, para encontrar a área dessa região, vamos configurar uma integral dupla. Mas como y está definido em termos de x , podemos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x . A fórmula geral para a área A é:
A = integrala^b integralc(x)^d(x) dy , dx
No nosso caso:
  • a = -2
  • b = 0
  • c(x) = 0
  • d(x) = 1raizx+2
Então, a integral fica:
A = integral-2^0 integral0^1raizx+2 dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral0^1raizx+2 dy = [ y ]0^1raizx+2 = 1raizx+2 - 0 = 1raizx+2
Agora, substituímos isso na integral externa:
A = integral-2^0 1raizx+2 , dx
Para integrar essa função, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar u = x + 2 , então du = dx . Quando x = -2 , u = 0 e quando x = 0 , u = 2 . A integral fica:
A = integral0^2 1raizu , du
Sabemos que integral 1raizu , du = 2raizu . Então:
A = [ 2raizu ]0^2 = 2raiz2 - 0 = 2raiz2

Resposta

A área da região R é 2raiz2 unidades quadradas.

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