Nos Problemas 1-8, determine a de contorno dadas.
Passo 1
O problema é resolver a equação de Laplace
no retângulo
0<x<1,;0<y<pi sujeito às condições de contorno
Vamos usar separação de variáveis e expansão de
g(y) em séries de cossenos (autofunções de Neumann em
y ).
Passo 2
Primeiro resolvemos o problema de autovalores em
y com BC de Neumann:
As soluções são
Logo expandimos
com
Passo 3
Procuramos solução da forma
Substituindo em
uxx+uyy=0 obtemos para cada modo
n>=0 a ODE
Passo 4
A solução geral de
Xn''-n^2Xn=0 é
Aplicando a condição
ux(1,y)=0 implica
Então
onde escolhemos
Cn=An e^n .
Passo 5
Agora impomos
u(0,y)=g(y) . Em
x=0 temos
Igualando coeficientes vê-se
Passo 6
Reunindo tudo, a solução final é
com