Nos Problemas 1-8, determine a de contorno dadas.
l u(0, y)=g(y), partial upartial x|x=1=0 partial upartial y|y=0=0, partial upartial y|y=pi=0

Passo 1

O problema é resolver a equação de Laplace
uxx+uyy=0
no retângulo 0<x<1,;0<y<pi sujeito às condições de contorno
u(0,y)=g(y), ux(1,y)=0, uy(x,0)=0, uy(x,pi)=0
Vamos usar separação de variáveis e expansão de g(y) em séries de cossenos (autofunções de Neumann em y).

Passo 2

Primeiro resolvemos o problema de autovalores em y com BC de Neumann:
phi''(y)+lambdaphi(y)=0, phi'(0)=0,;phi'(pi)=0
As soluções são
lambdan=n^2, phin(y)=cos(ny), n=0,1,2,dots
Logo expandimos
g(y)=g0+sumn=1^infty gncos(ny),
com
g0=1piintegral0^pi g(y),dy, gn=2piintegral0^pi g(y)cos(ny),dy(n>=1)

Passo 3

Procuramos solução da forma
u(x,y)=sumn=0^infty Xn(x)cos(ny)
Substituindo em uxx+uyy=0 obtemos para cada modo n>=0 a ODE
Xn''(x)-n^2Xn(x)=0

Passo 4

A solução geral de Xn''-n^2Xn=0 é
Xn(x)=An e^n x+Bn e^-n x
Aplicando a condição ux(1,y)=0 implica
Xn'(1)=nAn e^n-nBn e^-n=0 ;Longrightarrow; Bn=An e^2n
Então
Xn(x)=Anl(e^nx+e^2ne^-nxr) =An e^nl(e^n(x-1)+e^-n(x-1)r) =Cncoshl(n(1-x)r),
onde escolhemos Cn=An e^n.

Passo 5

Agora impomos u(0,y)=g(y). Em x=0 temos
u(0,y)=sumn=0^infty Cncosh(n)cos(ny) stackrel!=g0+sumn=1^infty gncos(ny)
Igualando coeficientes vê-se
C0=g0, Cn=gncosh(n),;n>=1

Passo 6

Reunindo tudo, a solução final é
u(x,y) =g0 +sumn=1^infty gncosh(n)coshl(n(1-x)r)cos(ny),
com
g0=1piintegral0^pi g(y),dy, gn=2piintegral0^pi g(y)cos(ny),dy;(n>=1)

Resposta

boxed u(x,y) =1pi!integral0^pi g(t),dt +sumn=1^infty gl[2pi!integral0^pi g(t)cos(nt),dtgr] cosh!l(n(1-x)r)cosh(n)cos(ny)

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