Determine a área da região A=(x, y) in R^2 ; 0 <= y <= e^-x e x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de áreas! O problema pede para encontrar a área da região A = (x, y) in R^2 ; 0 <= y <= e^-x e x >= 1 . Basicamente, vamos calcular a área sob a curva y = e^-x para todos os valores de x a partir de 1 até o infinito. Para isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. A curva y = e^-x é uma função exponencial decrescente que se aproxima de zero conforme x aumenta. Queremos encontrar a área entre essa curva, o eixo x (onde y = 0 ) e a linha vertical x = 1 , estendendo-se para x indo até o infinito.

Passo 3

Para calcular essa área, usamos a integral definida da função e^-x desde x = 1 até x = infty . A integral definida nos dá a área sob a curva entre dois pontos específicos. Então, vamos montar a integral:
Área = integral1^infty e^-x , dx Á

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa integral. A antiderivada de e^-x é -e^-x . Então, aplicamos os limites de integração:
Área = [ -e^-x ]1^infty Á

Passo 5

Vamos calcular os valores nos limites. Primeiro, quando x tende ao infinito:
limx to infty -e^-x = 0
Em seguida, para x = 1 :
-e^-1 = -1e

Passo 6

Subtraímos o valor em x = infty pelo valor em x = 1 :
Área = 0 - ( -1e ) = 1e Á

Resposta

A área da região A é 1e unidades de área.

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