Determine a área da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de áreas! O problema pede para encontrar a área da região
. Basicamente, vamos calcular a área sob a curva
para todos os valores de
a partir de 1 até o infinito. Para isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. A curva
é uma função exponencial decrescente que se aproxima de zero conforme
aumenta. Queremos encontrar a área entre essa curva, o eixo
(onde
) e a linha vertical
, estendendo-se para
indo até o infinito.
Passo 3
Para calcular essa área, usamos a integral definida da função
desde
até
. A integral definida nos dá a área sob a curva entre dois pontos específicos. Então, vamos montar a integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa integral. A antiderivada de
é
. Então, aplicamos os limites de integração:
Passo 5
Vamos calcular os valores nos limites. Primeiro, quando
tende ao infinito:
Em seguida, para
:
Passo 6
Subtraímos o valor em
pelo valor em
:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.