Distraída, Fernanda apresentou os seguintes cálculos:
O que está errado nos calculos acima? Justifique! Em seguida, calcule a integral corretamente, informando se a mesma é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar os cálculos que a Fernanda fez para a integral definida de
de -1 até 2. Vamos precisar entender como integrar funções do tipo
e verificar se a integral é convergente (tem um valor finito) ou divergente (não tem valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o que a Fernanda fez. Ela calculou a integral de
usando a antiderivada
, que está correta. Porém, ao avaliar nos limites de -1 a 2, ela esqueceu um detalhe importantíssimo: o ponto
está dentro do intervalo de integração, e
não está definido em
. Isso significa que a integral é “imprópria” e precisa ser tratada com cuidado.
Passo 3
Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, evitando o ponto onde a função não está definida:
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Então,
À medida que
se aproxima de 0 pela esquerda,
tende a
, então essa parte da integral diverge para
.
Segunda parte:
Aqui,
tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita, então essa parte também diverge para
.
Resposta
Os cálculos da Fernanda estão errados porque ela não considerou que a função
não está definida em
, fazendo a integral ser imprópria. Calculando corretamente, vemos que a integral
é divergente, ou seja, não possui um valor finito.