Distraída, Fernanda apresentou os seguintes cálculos:
integral-1^2 1x^2 d x=(x^-1)-1=-12-1=-32
O que está errado nos calculos acima? Justifique! Em seguida, calcule a integral corretamente, informando se a mesma é convergente ou divergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar os cálculos que a Fernanda fez para a integral definida de 1x^2 de -1 até 2. Vamos precisar entender como integrar funções do tipo 1x^2 e verificar se a integral é convergente (tem um valor finito) ou divergente (não tem valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o que a Fernanda fez. Ela calculou a integral de 1x^2 usando a antiderivada x^-1-1 , que está correta. Porém, ao avaliar nos limites de -1 a 2, ela esqueceu um detalhe importantíssimo: o ponto x = 0 está dentro do intervalo de integração, e 1x^2 não está definido em x = 0 . Isso significa que a integral é “imprópria” e precisa ser tratada com cuidado.

Passo 3

Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, evitando o ponto onde a função não está definida:
integral-1^2 1x^2 dx = lima to 0^- integral-1^a 1x^2 dx + limb to 0^+ integralb^2 1x^2 dx
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
integral 1x^2 dx = -1x + C
Então,
lima to 0^- [ -1a + 1-1 ] = lima to 0^- ( -1a -1 )
À medida que a se aproxima de 0 pela esquerda, -1a tende a +infty , então essa parte da integral diverge para +infty .
Segunda parte:
limb to 0^+ [ -12 + 1b ] = limb to 0^+ ( -12 + 1b )
Aqui, 1b tende a +infty quando b se aproxima de 0 pela direita, então essa parte também diverge para +infty .

Resposta

Os cálculos da Fernanda estão errados porque ela não considerou que a função 1x^2 não está definida em x = 0 , fazendo a integral ser imprópria. Calculando corretamente, vemos que a integral integral-1^2 1x^2 dx é divergente, ou seja, não possui um valor finito.

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