Resolva usando transformada de Laplace as seguintes equações:
y^prime prime-y^prime=e^t cos (t), y(0)=0, y^prime(0)=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' = e^t cos(t)
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como a transformada de Laplace funciona, especialmente para derivadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma função y(t) é representada por Y(s) . Lembrando que:
  • A transformada de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • A transformada de y'(t) é s Y(s) - y(0)
  • A transformada de e^t cos(t) pode ser encontrada usando tabelas de transformadas.
Aplicando a transformada na equação dada:
Ly'' - Ly' = Le^t cos(t)
Substituindo as transformadas:
( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) ) - ( s Y(s) - y(0) ) = Le^t cos(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 :
( s^2 Y(s) - 0 - 0 ) - ( s Y(s) - 0 ) = Le^t cos(t)
Simplificando:
s^2 Y(s) - s Y(s) = Le^t cos(t)
Fatorando Y(s) do lado esquerdo:
Y(s)(s^2 - s) = Le^t cos(t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de e^t cos(t) . Sabemos que:
Le^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2
Aqui, a = 1 e b = 1 . Então:
Le^t cos(t) = s - 1(s - 1)^2 + 1
Simplificando o denominador:
(s - 1)^2 + 1 = s^2 - 2s + 1 + 1 = s^2 - 2s + 2
Então:
Le^t cos(t) = s - 1s^2 - 2s + 2

Passo 5

Voltando à equação que tínhamos:
Y(s)(s^2 - s) = s - 1s^2 - 2s + 2
Isolando Y(s) :
Y(s) = s - 1(s^2 - 2s + 2)(s^2 - s)
Agora, vamos simplificar esse termo. Primeiro, fatoramos os denominadores:
s^2 - s = s(s - 1)
s^2 - 2s + 2 = (s - 1)^2 + 1
Então:
Y(s) = s - 1s(s - 1)((s - 1)^2 + 1)

Passo 6

Para encontrar y(t) , precisamos realizar a transformada inversa de Laplace. Vamos usar frações parciais para decompor Y(s) :
Y(s) = s - 1s(s - 1)((s - 1)^2 + 1)
Decompondo em frações parciais:
Y(s) = As + Bs - 1 + Cs + D(s - 1)^2 + 1
Resolvendo para A, B, C, D , encontramos os coeficientes e aplicamos a transformada inversa, resultando em:
y(t) = 1 - e^t cos(t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 1 - e^t cos(t)

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