Resolva usando transformada de Laplace as seguintes equações:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como a transformada de Laplace funciona, especialmente para derivadas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma função
é representada por
. Lembrando que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
pode ser encontrada usando tabelas de transformadas.
Aplicando a transformada na equação dada:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. Sabemos que:
Aqui,
e
. Então:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 5
Voltando à equação que tínhamos:
Isolando
:
Agora, vamos simplificar esse termo. Primeiro, fatoramos os denominadores:
Então:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos realizar a transformada inversa de Laplace. Vamos usar frações parciais para decompor
:
Decompondo em frações parciais:
Resolvendo para
, encontramos os coeficientes e aplicamos a transformada inversa, resultando em:
Resposta
A solução da equação diferencial é: