Determine a área da região compreendida entre as curvas.
21. Limitada pela reta y=-3 x+2, pelo eixo x e pelas retas x=-5 e x=-1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y=-3x+2, pelo eixo x (ou seja y=0) e pelas retas verticais x=-5 e x=-1. O conteúdo é cálculo de área pelo método da integral definida, já que a fronteira superior é a reta y=-3x+2 e a fronteira inferior é y=0.

Passo 2

Antes de integrar, verificamos o sinal de y=-3x+2 em [-5,-1]. A reta cruza o eixo x em -3x+2=0Rightarrow x=tfrac23, que não está no intervalo [-5,-1]. Testando em qualquer ponto do intervalo (por exemplo x=-1), temos y(-1)=3+2=5>0. Logo, sobre todo o intervalo a reta fica acima do eixo x.

Passo 3

Como a fronteira superior é y=-3x+2 e a inferior é y=0, a área vale
A=integral-5^-1l(-3x+2r),dx

Passo 4

Calculamos a primitiva:
integral(-3x+2),dx=-32x^2+2x
Então
A=l[-tfrac32x^2+2xr]x=-5^x=-1 =l(-tfrac32cdot1+2cdot(-1)r)-l(-tfrac32cdot25+2cdot(-5)r)
No numerador:
-tfrac32-2=-tfrac72,
e no denomindor:
-tfrac752-(-10)=-tfrac752+10=-tfrac752+tfrac202=-tfrac552
Logo
A=l(-tfrac72r)-l(-tfrac552r) =tfrac482=24
Porém, revendo o cálculo do segundo termo, era -tfrac752-10=-tfrac752-tfrac202=-tfrac952. Assim
A=l(-tfrac72r)-l(-tfrac952r) =tfrac882=44

Resposta

44

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