Exercício 1. Duas partículas partem de um mesmo instante, a primeira pelo caminho
x1(t)=2 t+6, y1(t)=5-4 t, t >= 0
e a segunda pelo caminho circular
x2(t)=3-5 cos (pi t), y2(t)=1+5 sen(pi t), t >= 0
(a) Os traços das curvas se interceptam? Em quais pontos?
(b) Há colisão entre as partículas? Em quais pontos?

Passo 1

O enunciado dá dois caminhos paramétricos em R^2:
x1(t)=2t+6,;y1(t)=5-4t,;t>=0 e
x2(t)=3-5cos(pi t),;y2(t)=1+5sin(pi t),;t>=0.
(a) Queremos saber se há pontos (x,y) comuns aos dois traços, isto é, se existem t1,t2>=0 tais que
x1(t1)=x2(t2), y1(t1)=y2(t2)
(b) Para colisão é preciso ainda t1=t2=t.

Passo 2

Escrevendo o sistema de interseção genérico:
2t1+6 ;=;3-5cos(pi t2), 5-4t1;=;1+5sin(pi t2)
Da primeira equação isolamos
t1=-3-5cos(pi t2)2
Substituindo na segunda:
5-4l(-3-5cos(pi t2)2r);=;1+5sin(pi t2) ;Longrightarrow; 11+10cos(pi t2)=1+5sin(pi t2),
ou seja
2costheta-sintheta+2=0,com theta=pi t2

Passo 3

Para resolver
2costheta-sintheta+2=0
usamos sin^2theta+cos^2theta=1. Escrevendo sintheta=2costheta+2 e impondo
(2costheta+2)^2+cos^2theta=1 obtemos
5cos^2theta+8costheta+3=0 ;Longrightarrow; (5costheta+3)(costheta+1)=0
Logo as soluções são
costheta=-1,oucostheta=-tfrac35

Passo 4

Caso 1: costheta=-1 e então sintheta=0. Logo
theta=(2m+1)pi;Longrightarrow;t2=2m+1, minZ>=0,
e de t1=(-3-5costheta)/2 vem t1=1. Para m=0 obtemos o ponto
(x,y)=(x1(1),y1(1))=(2cdot1+6,;5-4cdot1)=(8,1)
Caso 2: costheta=-tfrac35, sintheta=2costheta+2=tfrac45. Então
theta=arccosl(-tfrac35r)+2pi k ;Longrightarrow; t2=thetapiapprox0,704+2k,;kinZ>=0,
e t1=(-3-5(-3/5))/2=0. Para k=0 isso dá
(x,y)=(x1(0),y1(0))=(6,5)
Concluímos que os traços se intersectam exatamente nos pontos (6,5) e (8,1).

Passo 5

Para colisão impomos t1=t2=t. Das interseções acima só há essa coincidência de tempo em t=1, pois em t=0 não se igualam as coordenadas e as outras soluções não satisfazem t1=t2. Assim há colisão apenas em
t=1, (x,y)=(8,1)

Resposta

(a) Os dois traços se interceptam nos pontos (6,5) e (8,1).
(b) As partículas colidem apenas em t=1, no ponto (8,1).

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