Determine a área da região compreendida entre as curvas.
26. Limitada pela curva y=10+x-x^2, pelo eixo x e pelas retas x=-2 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=10+x-x^2, pelo eixo x e pelas retas verticais x=-2 e x=3.
Conteúdo: cálculo de área usando integrais definidas. Vamos precisar de integrar a função em relação a x e verificar se ela fica sempre acima do eixo x no intervalo dado.

Passo 2

Verificamos onde a curva cruza o eixo x resolvendo
10 + x - x^2 = 0
ou seja
x^2 - x - 10 = 0,
cuja solução é
x = 1 pm raiz1 + 402 = 1 pm raiz412 approx -2,70e 3,70
Como o intervalo de integração é [-2,3], que fica estritamente entre essas raízes, temos y>0 para todo xin[-2,3]. Assim, a área é simplesmente a integral da função.

Passo 3

Montamos a integral definida da função em relação a x:
A = integralx=-2^,3 l(10 + x - x^2r),dx

Passo 4

Calculamos uma primitiva de 10 + x - x^2. Uma antiderivada é
F(x)=10x + x^22 - x^33
Logo,
A = F(3) - F(-2)
Agora avaliamo-la:
F(3)=10cdot3 + 3^22 - 3^33 =30 + 92 - 9 = 30 + 4,5 - 9 = 25,5,
F(-2)=10cdot(-2) + (-2)^22 - (-2)^33 =-20 + 42 - l(-83r) =-20 +2 + 83 =-18 + 83 =,-463
Portanto,
A = 25,5 - l(-tfrac463r) =25,5 + tfrac463 =512 + 463 =153 + 926 =2456

Resposta

2456

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