Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
y=sen x, 0 <= x <= pi;

Passo 1

O problema pede o comprimento do arco da curva y=sen x no intervalo 0≤x≤π, usando a fórmula de comprimento de arco de uma função f(x). Vamos precisar do conceito de derivada e da integral de √(1+(f′(x))²).

Passo 2

Primeiro, esboce a curva y=sen x de x=0 a x=π. Ela sobe de (0,0) até (π/2,1) e depois desce até (π,0). Isso nos mostra dois arcos monotônicos: um em [0,π/2] e outro em [π/2,π].

Passo 3

Calcule a derivada:
y'=ddx(sen x)=cos x
Pela fórmula de comprimento de arco de y=f(x) em [a,b], temos
L=integrala^b raiz1+(y')^2,dx

Passo 4

Substituindo y′=cos x e a=0, b=π, obtemos
L=integral0^pi raiz1+cos^2 x,dx
Como cos²x é simétrico em torno de π/2, podemos usar a propriedade de simetria:

Passo 5

Use simetria para escrever
L=2integral0^pi/2 raiz1+cos^2 x,dx
Isso também mostra que cada arco em [0,π/2] e [π/2,π] tem o mesmo comprimento.

Passo 6

Para obter um valor numérico, podemos aplicar a regra de Simpson ou outro método numérico em
I=integral0^pi/2 raiz1+cos^2 x,dx
e depois multiplicar por 2. Fazendo a aproximação, encontra-se
Iapprox1,9116
e portanto
L=2Iapprox3,8232

Resposta

O comprimento de cada arco em [0,π/2] e em [π/2,π] é aproximadamente 1,9116, e o comprimento total de 0 a π é aproximadamente 3,8232.

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