Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
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Passo 1
O problema pede o comprimento do arco da curva y=sen x no intervalo 0≤x≤π, usando a fórmula de comprimento de arco de uma função f(x). Vamos precisar do conceito de derivada e da integral de √(1+(f′(x))²).
Passo 2
Primeiro, esboce a curva y=sen x de x=0 a x=π. Ela sobe de (0,0) até (π/2,1) e depois desce até (π,0). Isso nos mostra dois arcos monotônicos: um em [0,π/2] e outro em [π/2,π].
Passo 3
Calcule a derivada:
Pela fórmula de comprimento de arco de y=f(x) em [a,b], temos
Passo 4
Substituindo y′=cos x e a=0, b=π, obtemos
Como cos²x é simétrico em torno de π/2, podemos usar a propriedade de simetria:
Passo 5
Use simetria para escrever
Isso também mostra que cada arco em [0,π/2] e [π/2,π] tem o mesmo comprimento.
Passo 6
Para obter um valor numérico, podemos aplicar a regra de Simpson ou outro método numérico em
e depois multiplicar por 2. Fazendo a aproximação, encontra-se
e portanto
Resposta
O comprimento de cada arco em [0,π/2] e em [π/2,π] é aproximadamente 1,9116, e o comprimento total de 0 a π é aproximadamente 3,8232.