Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
y=1+6 x^3 / 2, 0 <= x <= 1;

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar e calcular o comprimento de arco da curva y=1+6x^3/2 no intervalo 0<= x<=1. O conteúdo é comprimento de arco de função y=f(x) e vamos usar a fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx. No esboço, a curva parte de (0,1) e vai até (1,7), é crescente e convexa para cima.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, encontramos a derivada de y:
y'=ddx(1+6x^3/2)=6cdot32x^1/2=9raizx
Então (y')^2=81x e o integrando fica raiz1+81x.

Passo 3

O comprimento de arco é
L=integral0^1raiz1+81x,dx
Para resolver, use a primitivação padrão:
integralraiz1+81x,dx=2(1+81x)^3/23cdot81+C=2(1+81x)^3/2243+C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
L=[2(1+81x)^3/2243]0^1 =2243l((1+81)^3/2-(1)^3/2r) =2243l(82^3/2-1r)

Resposta

L=2243l(82raiz82-1r)

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